Задание 10

Методом изоклин построить интегральную кривую заданного диф. уравнения, проходящую через заданную точку М.

1. у – у= 2х, М(1,1).

2. у + у=х+ 3, М(–1,2).

3. у=х²+у² М(0 ,–1).

4. уу+х = 0 М(1 ,1).

5. у = у–х² , М(–1 ,1).

6. ху + у= 0 , М(2 ,2).

7. М(0 ,0).

8. (х+ 1)у = 2у, М(1 ,1).

9. (х–у)у = х, М(2 ,0).

10. (х–1)у + у=0, М(–1 ,0).

11. уу=х +1, М(0 ,0).

12. у – у=х² , М(1 ,1).

Задание 11

Решить систему методом исключения

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

Задание 12

Решить систему методом Эйлера

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

Задание 13

Найти решение системы методом Лагранжа и исследовать его устойчивость

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

Задание 14

Убедиться в существовании нулевого решения и исследовать его устойчивость

1. (неустойчиво)

2. y +2y +2y +3y= 0 (устойчиво)

3. ( неустойчиво)

4. (устойчиво)

5. y^IV +2y + 3y + 7y + 2y= 0 (неуст.)

6. (устойчиво)

7. (неустойчиво)

8. y^IV +2y + 3y +y +y= 0 (устойчиво асимптотически)

9. (неустойчиво)

10. (устойчиво асимптотически)

11. y^IV +2y + 3y + 2y + 3y= 0 (неустойчиво)

12. (неустойчиво)

13. (не устойчиво)

14. y^IV +2y + 4y + 3y + 2y= 0 (устойчиво)

15. (неустойчиво)

16. (неустойчиво)

17. y^IV +2y + 6y + 5y + 6y= 0 (устойчиво)

18. (неустойчиво)

19. (устойчиво асимпт.)

20. При каком будет устойчивым нулевое решение уравненияy^IV +2y +y +y +y= 0? (>2,5)

21. (неустойчиво)

22. (неустойчиво)

23. При каком будет устойчивым нулевое решение уравненияy^IV +2y + 3y +2y +y= 0? (0<<2)

24. (устойчиво)

25. (асимпт. устойчиво)

26. При каком будет устойчивым нулевое решение уравненияy^IV +y +y + 2y +y= 0 (неуст.)

27. (устойчиво асимпт.)

28. (устойчиво асимпт.)

29. При каком будет устойчивым нулевое решение уравненияy^IV +y + 2y +y + 3y= 0 (неуст.)

30. (устойчиво асимпт.)

Задание 15

Построить фазовый портрет системы, с его помощью проверить устойчивость положения равновесия

1. , (у= Сх, устойчивый дикритический узел)

2. ( седло)

3. (у= Сх², неустойчивый узел)

4. (центр)

5. (x = Сy², устойчивый узел)

6. (центр)

7. (у= Сх³, неустойчивый узел)

8. (центр)

9. (х= Су³, устойчивый узел)

10. (у = 3х+ С, неустойчив.)

11. (седло)

12. неуст.

13. (центр)

14. (у= С–2х, неустойчив.)

15. (седло)

16. 

17. (неустойчивый фокус)

18. (, неуст. узел)

19. (устойчивый фокус)

20. (устойчиво)

Вопросы к защите темы ду и сду

Символом «*» отмечены вопросы второго уровня сложности, ответы на которые должны знать те, кто претендует на оценку 4 или 5.

Часть 1. Дифференциальные уравнения (ду)

1. Дайте определение дифференциального уравнения k-го порядка, запишите в общем виде обыкновенное дифференциальное уравнение k-го порядка. Определите порядок ДУ и запишите его в нормальной форме.

2. Что называется решение ДУ? Является ли функция решением ДУ?

3. Запишите в общей и нормальной форме ДУ первого порядка. Сформулируйте задачу Коши для этого ДУ.

4. Сформулируйте теорему Коши существования и единственности решения задачи Коши ДУ у = f(x,y).

5. * Укажите область существования решения задачи Коши: у = у², у(0) = 1.

6. * Для каждого из ДУукажите область, где задача Коши разрешима и имеет единственное решение.

7. Какой геометрический смысл имеют ДУ у = f(x,y) и его решение?

8. Какой механический смысл имеют ДУ и его решения? Что представляет собой график движения, определяемого этим ДУ и траектория движения?

9. Дайте определение интегральной кривой ДУ.

10. * Могут ли интегральные кривые уравнения у = f(x,y) с непрерывной правой частью пересекаться или иметь излом, могут ли касаться друг друга?

11. Верно ли, что интегральные кривые уравнения имеют вид?

12. Дайте определение общего, частного, особого решения ДУ первого порядка. Как найти каждое из этих решений? Какова геометрическая и механическая интерпретация этих решений?

13. * Докажите, что ДУ у = f(x,y), где f(x,y) многочлен, не имеет особых решений.

14. * Как по свойствам функции f(x,y) определить кривые, подозрительные на особые решения?

15. Перечислите известные вам типы ДУ первого порядка и запишите их вид. Укажите методы решения каждого.

16. Определите тип ДУ .

17. Запишите ДУ в нормальной форме. Найдите все его решения.

18. Найдите общее решение дифференциального уравнения . Запишите уравнение интегральной кривой, проходящей через точку (0;1).

19. Что такое поле направлений, определяемое ДУ у = f(x,y)? Что называется изоклиной? Какую задачу можно решить с помощью изоклин? Запишите уравнение изоклин ДУ .

20. На каком из рисунков изображены изоклины ДУ?

21. 

    

    

    Ниже изображено поле направлений некоторого дифференциального уравнения и три кривые. Какая из этих кривых является интегральной кривой этого уравнения?

22. * Может ли изоклина ДУ у = f(x,y) быть интегральной кривой?

23. Запишите общий вид и нормальную форму записи ДУ второго, третьего порядка. Сформулируйте задачу Коши.

24. Какова геометрическая и механическая интерпретация ДУ у = f(x,y, у) и его решений, задачи Коши?

25. Дайте определения общего и частного решений ДУ у = f(x,y, у). В чем их отличие?

26. Перечислите виды ДУ, допускающих понижение порядка и методы их решения.

27. Каков метод решения дифференциального уравнения ?

28. Сформулируйте краевую задачу для ДУ 2-го порядка, ее геометрический и физический смысл, алгоритм решения.

29. Дайте определение линейного дифференциального оператора, перечислите его свойства (с доказательством).

30. * Примените линейный дифференциальный оператор 3-го порядка к функции у = е^2х; у = sinax.

31. Запишите общий вид линейного однородного, неоднородного ДУ п-го, второго порядков.

32. Какое уравнение называется характеристическим для линейного ДУ? Как записывается решение однородного ЛДУ в зависимости от корней характеристического уравнения?

33. Что такое ФСР линейного однородного ДУ 4-го порядка? Сколько решений она содержит?

34. * Могут ли образовывать ФСР ДУ функции у₁ = е^2х и у₂ = 3е^2х; у₁ = е^2х и у₂ = е^–3х? Если да, то для уравнения какого порядка

35. Что представляет собой множество решений линейного однородного ДУ? Что это означает?

36. Сформулируйте (*и докажите) теоремы о структуре общего решения линейного однородного и неоднородного ДУ второго порядка

37. * Докажите теоремы: о частных решениях однородного линейного ДУ; о наложении частных решений неоднородного линейного ДУ.

38. * Докажите, что: а) для того чтобы функция была решением ДУ, необходимо и достаточно, чтобы k было корнем характеристического уравнения; б) если характеристическое уравнение ДУимеет кратные корни ₁ = ₂= , то функции иобразуют ФСР; в) если характеристическое уравнение ДУ имеет действительные различные корни ₁ , ₂, то функции и образуют ФСР.

39. Запишите общее решение дифференциального уравнения . Какая из функций,,является частным решением этого уравнения, удовлетворяющим условиям,?

40. Как найти частное решение линейного неоднородного ДУ, если его правая часть имеет специальный вид? Дайте ответ на этот вопрос для всех специальных видов правой части.

41. Известны корни характеристического уравнения для ДУ , а именно,. Запишите вид частного решения этого уравнения (не находя коэффициентов).

42. Опишите метод вариации постоянных (Лагранжа) решения линейного неоднородного ДУ. Решите дифференциальное уравнение . Можно ли это уравнение решить методом неопределенных коэффициентов? Почему?