FAIT1 / INTEGRAL 3

Индивидуальные задания

Ниже приведена таблица номеров задач, входящих в соответствующий вариант индивидуальных заданий.

Номер варианта	Номера задач индивидуального задания
Номер задачи	1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28	1 16 31 46 61 76 91 106 121 2 17 32 47 62 77 92 107 122 3 18 33 48 63 78 93 108 123 4 19 34 49 64 79 94 109 124 5 20 35 50 65 80 95 110 125 5 19 33 47 65 79 93 107 125 1 20 34 48 61 80 94 108 121 2 16 35 49 62 76 95 109 123 3 17 31 50 63 77 91 110 122 4 18 32 46 64 78 92 106 124 6 21 36 51 66 81 96 111 126 7 22 37 52 67 82 97 112 127 8 23 37 53 68 83 98 113 128 9 24 39 54 69 84 99 114 129 10 25 40 55 70 85 100 115 130 9 23 37 55 69 83 97 115 129 10 24 38 51 70 84 98 111 130 6 25 39 52 66 85 99 112 126 7 21 40 53 67 81 100 113 127 8 22 36 54 68 82 96 114 128 11 26 41 56 71 86 101 116 131 12 27 42 57 72 87 102 117 132 13 28 43 58 73 88 103 118 133 14 29 44 59 74 89 104 119 134 15 30 45 60 75 90 105 120 135 11 28 44 56 72 89 104 117 132 12 29 45 57 73 90 105 118 133 13 30 41 58 74 86 101 119 134

Задачи

Задания 1-15: Вычислить двойной интеграл по заданной области D:

1. а)

б)

2. а)

б)

3. а)

б)

4. а)

б)

5. а)

б)

6. а)

б)

7. а)

б)

8. а)

б)

9. а)

б)

10. а)

б)

11.а)

б)

12. а)

б)

13. а)

б)

14. а)

б)

14. а)

б)

Задания 16-20: Записать через повторный двумя способами и найти площадь области D:

14. 

15. 

16. 

17. 

18. 

Задания 21-25: Изменить порядок интегрирования:

14. 

22. 

23. 

24. 

25. 

Задания 26-30: Построить область, площадь которой выражается заданным повторным интегралом. Изменить порядок интегрирования и найти площадь:

22. Ответ.

23. . Ответ.

24. 

29.

30.

Задания 31-40: Вычислить двойной интеграл в полярных координатах:

31. , D – круг

32. , D – часть кольца .

33. , D – определена неравенствами .

34. , D – часть круга радиуса 5 с центром в точке O(0, 0), лежащая в первой четверти. Ответ.

35. , D – кольцо между окружностями и Ответ. 416 π.

36. , .

34. 

34. .

35. , D – круг .

36. 

Задания 41-45: С помощью двойного интеграла в полярных координатах найти площадь фигуры, ограниченной линией.

34. Ответ.

35. Ответ.

36. 

37. 

38. 

Задания 46-60: С помощью двойного интеграла найти объём тела, ограниченного указанными поверхностями (в задачах, помеченных звёздочкой, рекомендуется перейти к полярным координатам).

46.

47.

48.* . Ответ. 24π

49. *

.

49. 

50. 

51. 

52. 

53. 

54. *

55. *

56. *

57. *

58. *

59. *

Задание 61-75: Использовать физический смысл двойного интеграла (в задачах, помеченных звёздочкой, примените полярные координаты).

61. * Найти массу пластинки, занимающей область D, ограниченную линиями и имеющую поверхностную плотность Ответ. 4.

62. * Найти массу пластинки, занимающей область D, ограниченную линиями , если поверхностная плотность в каждой точке области равна . Ответ. 6.

63. Найти центр масс однородной области, ограниченной линиями x–3y=0, x+y=8, x=3. Ответ.

64. Найти центр масс однородной области, ограниченной линиями , если плотность масс постоянна и равна 1. Ответ.

65.* Найти центр масс однородной фигуры, ограниченной линиями Ответ.

66. Найти массу области D, ограниченной линиями , если поверхностная плотность в каждой точке области равна . Ответ. 2.

67.* Найти массу области D, ограниченной линиями , имеющей поверхностную плотность Ответ. 7.

68.* Найти массу области D, ограниченной линиями , имеющей поверхностную плотность Ответ. 6.

69. * Найти массу области D, ограниченной линиями , если поверхностная плотность . Ответ. 15.

70.* Найти массу плоской области D, ограниченной линиями , если поверхностная плотность равна

Ответ. 10.

71. Найти массу пластинки, имеющей форму прямоугольного треугольника с катетами OB=a и OA=b, если плотность её в любой точке равна расстоянию от точки до катета OA. Ответ.

72. Найти моменты инерции однородного треугольника, ограниченного прямыми , относительно осей координат.

Ответ.

73. Найти момент инерции относительно оси OY однородной фигуры, ограниченной линиями . Ответ.

74.* Найти массу круглой пластинки радиуса R, если плотность её пропорциональна квадрату расстояния от точки до центра и равна 1 на краю пластинки. Ответ.

75. Найти момент инерции однородной фигуры, ограниченной линиями , y=a, x=0, относительно прямой x = –a. Ответ.

Задание 76-90: Вычислить криволинейный интеграл:

76. а) L – дуга линии x = lny между точками A(0, 1) и B(1, e).

Ответ. .

б) , L – дуга кривой Ответ. 1,9.

77. а) , L – дуга окружности x=Rcost, y=Rsint, лежащая в I четверти.

Ответ. .

б) , L – отрезок прямой от точки A(2,1,0) до точки B(4,3,1). Ответ.

78. а) , L – дуга кривой

Ответ.

б) L – дуга кривой от точки A(0,1) до

точки B(1,e). Ответ.

79. а) , L – дуга тангенсоиды

Ответ.

б), L – дуга кривой

Ответ. 1.

80. а) , L – дуга линии между точками O(0,0) и A(1,1/4).

Ответ.

б) , L – дуга кривой

Ответ.

79. а) , L – дуга линии между точками O(0,0,0)

и . Ответ.

б) , L – дуга параболы , расположенная над осью OX и пробегаемая против хода часовой стрелки. Ответ. –4

82. а) L – контур треугольника с вершинами A(1,0), B(01), O(0,0).

Ответ.

б) , L – отрезок прямой от точки A(1,1,1) до точки

B(2,3,4). Ответ. 13.

83.* а), L – окружность Ответ.

б) , L – дуга винтовой линии от точки ее пересечения с плоскостью до точки пересечения с плоскостью . Ответ. 0

84. а) , где AB – дуга полукубической параболы между точками

и . Ответ.

б), OA – четверть окружности , , , пробегаемая в направлении возрастания параметра t. Ответ.

85. а) L – первый виток винтовой линии , , . Ответ.

б) , L – контур треугольника с вершинами A(1,2), B(3,1), C(2,5). Ответ. 17,5.

86. а) , L – дуга линии . Ответ.

б) , L – дуга линии .

Ответ.

87. а) , L – отрезок прямой между точками A(1,1,1) и B(3,0,3) Ответ. 27.

б) L – дуга линии пересечения гиперболоида с плоскостью y=x от точки (1,1,0) до точки .

Ответ.

88. а) , L – окружность .

Ответ.

б) , L – отрезок прямой между точками A(0,1,1)

и B(1,0,2). Ответ.

89. а) L – дуга линии

Ответ.

б) , L – дуга кривой .

Ответ..

89. а), L – дуга кривой .

Ответ.

б) , L – дуга линии

. Ответ. 1,9.

Задания 91-120: Использовать физический смысл криволинейных интегралов

91. Найти координаты центра масс дуги кривой , , , если в каждой точке линейная плотность равна Ответ.

92. Найти массу материальной дуги кривой с линейной плотностью Ответ. 24.

93. Найти массу материальной дуги кривой , если линейная плотность равна Ответ.

94. Найти массу первой арки циклоиды , если плотность массы в каждой точке кривой равна квадрату ординаты.

Ответ.

94. Найти массу дуги линии с линейной плотностью ρ(x,y,z) = xyz. Ответ.

95. Найти массу четверти окружности , расположенной в первом квадранте, если плотность её в каждой точке пропорцио­нальна кубу ординаты этой точки (коэффициент пропорциональности равен β).