- •Индивидуальное задание по дифурам и сду
- •Задание 1
- •Задание 2
- •Задание 3
- •Задание 4.
- •Задание 5 Найти решение краевой задачи
- •Задание 6 Найти решение задачи Коши.
- •Задание 7 Решить дифференциальное уравнение методом Лагранжа.
- •Задание 8
- •Задание 9
- •Задание 10
- •Задание 12
- •Задание 13
- •Задание 14
- •Вопросы к защите темы ду и сду
- •Часть 1. Дифференциальные уравнения (ду)
- •Часть 2. Системы дифференциальных уравнений (сду). Элементы теории устойчивости.
Задание 2
Найти частное решение дифференциального уравнения:
xdy – ylnydx = 0 , x= 1,y =e (у=е2х)
ху=х+у,у(1) = 0 , (у=xln|x| )
, y(1) = 3
,у(0) = 0 ()
y – y = ,x = 0, y = 1
(1+x2)y = 2xy, y(2) = 1 (y = 0,2(x2 + 1) )
xy – y = ylny – ylnx, у(1) = е2 ( y = xe2x )
3y y2 – y3 = x, у(0) = 2
x(y2+ 1) +y(x2– 1)y= 0 ,у(2) = 1
,х=е,у= 0,
, x = 2, y = 4
tgx dy – (y – 1)dx = 0, x =,y = 0 ( y = 1–2sinx )
xdy + (y – xsinx)dx = 0 , y() = 0
()
16. (х–у)dx + xdy= 0,у(1) = 2. (у=2х–хln|x|)
y + y – x – 2 = 0 , y(0) =0 (y = e–x + x – 1)
ydy + x e y dx = 0, x = 1, y = 0 ( 0,5x2 –(y + 1)e–y = –0,5 )
,
ysinx + y cosx = 1 , (y = sinx + (– 1)cosx )
,
,
y – y = xex , y(0) =1 ( y = ex(0,5x2 + 1) )
, у(0) =0
,
y (2x + 1) = 4x2 + 2y – 1, x = 0, y = 1 ( y =(2x+1)(x+C–ln|2x+1|) )
3xdy – ylnydx = 0 , x = 1, y = e
, у(1) = 0
y +2xy =x,y(0) = 2
Задание 3
Найти все решения дифференциального уравнения
1. (у(у+1)–1=С(х–1) ,у= –1)
2. (x + xy)dx + y(1 +x)dy = 0, (x + y =ln(x+1)(y+1)+С,у= –1,х = –1 )
3. (xy2+y2) = (x2y–x2)y=0
4. (xy2+y2) – (x2y–x2)y= 0
5.
6. , (у=x sinln|Cx|,у=х)
7. (y= 0,25xln2|Cx| ,у= 0)
8. (y2– 2xy)dx + x2dy = 0 (ln|Cyx-2| –x–1= 0,у=х)
9. (x–y)y –x2y = 0 (y=xln–1|Cx|,у= 0 )
10.
11. (x – y)ydx = x2 dy
12. yy + x = 2y
13. (x2 – 4)y – 4y = – (x+2)y2
14. xy +y = xy2lnx
15.
16.
17. y cosx + ysinx = y2 (y = –cosx(x+C)–1, у = 0)
18.
19. y – ytgx = –y2cosx,
20. y – +y2 = 0
Задание 4.
Решить дифференциальные уравнения высших порядков:
(1 + ех)у + у = 0 (у= С1(х–е–х) + С2
у– 2у(у )3= 0
у = 2(у – 1)ctgx
у = 5x4 – sin3x, y(0) = y(0)=0, y(0)=1
2yy=
y + (y )2= 0 (y=ln|C1x+C2|)
y(x – 1)2 = 3, x = 2, y = y = 0 ( y = –3ln|x–1| +2x – 6)
xy = y + x2
yy = ( y )2
xy +y = 1 + x ( y = x +0,25x2 + C1ln|x| + C2 )
ycos2x = 5 , x = 0, y = 1, y = 0 ( y = –5ln|cosx| +1 )
(1–x2)y = 4 + xy ( y = 2arcsin2x + C1arcsinx +C2 )
y + = 0 (y = sin(x + C2) –C1 )
(y )2=y x
(x2 + 1)y = 1 , x = 0, y = 1, y = 0 (y = xarctgx – 0,5ln(1+x2)+C1x +C2 )
x2y + xy = 1 ( y= xln|x| – x + C1x + C2 )
y (y – 1) = 2(y )2
y = 2(y – 1)ctgx
y = sin2x +1, x = ,y = 0, y = .
xy + y = x2+ 1
yy = 3(y )2
y=sin3x,x= ,y=0 ,y= 0,y= 1
y + y tgx = sin2x (y = C1sinx –x –0,5sin2x + C2 )
yy – (y )2 = 1
yIVtgx = y+ 1
y = 1 , x =0, y =0, y =1 (y = xarcsinx ++C1x + C2 )
(1+x2)y + (y )2 + 1 = 0 (,указание: arctgx+arctgy=arctg)
xy + y + x = 0 ( y = 0,5C12ln|x –0,25x2 +C2 )
y =
y =sin3x +,x = , y = 1, y = 0
(1 – x2)y – xy = 2 (y = arcsin2x +Carcsinx + C1)
2yy = 1 + (y )2
y–2yctgx = sin3x
y = 24(x + 1)3, x = 0, y = 0, y = 1, y= –1 ( y=0,2(x+1)6–3,5x2–0,2x–0,2 )
y = –
y tg y = 2(y )2 ( C12x +C2 +ctgy = 0 )
(y=x+C1xex + C2)
y x(x+1)2 = 1,x=1,y=0,y = –