Задание 9

Решить задачу:

1. Найти кривую, проходящую через точку (9; 9) и обладающую тем свойством, что угловой коэффициент любой ее касательной вдвое меньше углового коэффициента радиус-вектора точки касания. Построить эту кривую. (у = 3)

2. Скорость размножения бактерий пропорциональна количеству бактерий, имеющихся в наличии в рассматриваемый момент времени. Количество бактерий утроилось в течение 5 часов. Найти зависимость количества бактерий от времени и определить количество бактерий через 10 часов, если в начальный момент их было х₀. (9х₀)

3. Найти кривую, проходящую через точку А(0;–2), чтобы угловой коэффициент касательной в любой ее точке равнялся ординате этой точки, увеличенной на 3 единицы. (у = е^х – 3)

4. Замедляющее действие трения на диск, вращающийся в жидкости, пропорционально угловой скорости вращения. Найти угловую скорость диска через 3 минуты после начала вращения, если диск, начав вращаться со скоростью 200 об/мин, по истечении 1 минуты вращается со скоростью 120 об/мин. (43,2 об/м)

5. Найти кривую, проходящую через точку , если угловой коэффициент касательной к кривой в любой ее точке втрое больше углового коэффициента радиус-вектора точки касания. ()

6. Моторная лодка весом 300 кг движется прямолинейно с начальной скоростью 66 м/с. Сопротивление воды пропорционально скорости и равно 10 кг при скорости 1 м/с. Через сколько времени скорость будет равна 8 м/с ? ()

7. Найти семейство кривых, для которых угловой коэффициент касательной равен ординате точки касания, и среди этих кривых выбрать ту, которая проходит через точку (2; 5) ()

8. Автомобиль массой т кг в момент выключения двигателя шел со скоростью 20 м/с. Через 25 секунд скорость автомобиля уменьшилась до 5 м/с. Считая, что сопротивление движению автомобиля пропорционально его скорости, найти уравнение скорости и определить, через сколько секунд от начала движения без работы двигателя его скорость окажется равной 1,25 м/с? (10с)

9. Определить кривую, проходящую через точку (3; 4), если угловой коэффициент касательной к этой кривой в любой ее точке равен квадрату ординаты точки касания.+

10. Зная, что скорость охлаждения тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды, найти, через сколько времени температура тела, нагретого до 100^оС, понизится до 30^оС, если температура помещения равна 20^оС и за первые 20 минут тело охладилось до 60^о? ( 1 час) +

11. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (3 ; 4) и обладающей тем свойством, что отрезок, отсекаемый любой касательной на оси ординат, равен удвоенному модулю радиус-вектора точки касания. ()

12. Замедляющее действие трения на диск, вращающийся в жидкости, пропорционально угловой скорости вращения. Найти угловую скорость диска через 3 минуты после начала вращения, если диск, начав вращаться со скоростью 100 об/мин, по истечении 30 секунд вращается со скоростью 50 об/мин. (1,56 об/мин)

13. Найти кривую, для которой угловой коэффициент касательной в любой ее точке в п раз больше углового коэффициента прямой, соединяющей эту же точку с началом координат. (у = Сх^п )

14. Известно, что тело движется со скоростью, пропорциональной пройденному пути, и проходит за 2 с 10 м, а за 4 с – 50 м. Какой путь пройдет тело за 6с от начала отсчета времени.

15. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1; 4) и обладающей тем свойством, что отрезок, отсекаемый на оси ординат любой касательной, равен удвоенной абсциссе точки касания. (y = 4x –2xlnx)

16. Известно, что изолированный проводник вследствие несовершенства изоляции, теряет сообщенный ему заряд, причем, скорость потери заряда пропорциональна наличному заряду в данный момент. В начальный момент проводнику сообщен заряд 20 К. За первые 2 минуты проводник теряет 4 К. Определить, через сколько минут заряд проводника станет равным половине начального. (6,2 м)

17. Найти кривую, для которой площадь треугольника, образованного осью абсцисс, касательной к кривой и радиус-вектором точки касания, равна 9. (х = 9у^–1+Су)

18. Предполагая, что скорость прироста населения страны пропорциональна наличному количеству, и зная, что на 1 января 2000 года население составляло 100 млн. человек, а прирост за 2000 год равен 2%, определить количество населения страны на 1 января 2030 года. (181,14 млн.)

19. Найти уравнение кривой, проходящей через точку(1;2) и обладающей тем свойством, что отрезок, отсекаемый от оси ординат любой касательной, равен абсциссе точки касания. (у = 2х–хln|x| ).

20. Принимая скорость прироста населения Земли прямом пропорциональной количеству населения, найти зависимость между количеством населения А и временем t, если известно, что в 1987 году население Земли составляло 5 млрд., а в 1996 – 5,75 млрд. человек. Каково будет население Земли в 2017 году? (А=5e^0,016t , A7,97 млрд.)