2.2 Основные теоремы о двойственности

Связь между оптимальными решениями двойственных задач устанавливается с помощью теорем о двойственности.

Теорема 1 Если одна из двойственных задач имеет оптимальное решение, то другая также имеет оптимальное решение, причем для любых оптимальных решений ивыполняется равенство

(2.5)

Если одна из двойственных задач неразрешима ввиду того, что то другая задача не имеет допустимых решений (ограничения противоречивы).

Экономический смысл первой теоремы о двойственности. План производства х=(х₁, x₂, … , x_n) и набор цен на ресурсы y=(y₁, y₂, … , y_m) оказывается оптимальным тогда и только тогда, когда прибыль от реализации продукции, полученная при «внешних» (известных заранее) ценах c₁, c₂, … , c_n, равна затратам на ресурсы по «внутренним» (определяемым только из решения задачи) ценам y₁, y₂, …. , y_m . Для всех остальных планов x и y обеих задач прибыль от продажи продукции всегда будет меньше (или равна) затратам на ресурсы.

Другими словами, предприятию безразлично, производить ли продукцию по оптимальному плану и получить максимальную прибыль либо продавать ресурсы по оптимальным ценам и возместить от продажи равные ей минимальные затраты на ресурсы.

Теорема 2 (о дополнительной нежесткости) Для оптимальности решений ипары двойственных задач необходимо и достаточно, чтобы они удовлетворяли системе уравнений

(2.6)

Теоремы 1,2 позволяют определить оптимальное решение одной из пары двойственных задач по решению другой.

Двойственные оценки являются:

• показателем дефицитности ресурсов и продукции. Это свойство следует из теоремы 1: величина является оценкойi-го ресурса; чем больше значение оценки , тем выше дефицитность ресурса; для недефицитного ресурса;

• показателем влияния ограничений на значение целевой функции. Из теоремы 1 следует, что при незначительном приращении b_i является точной мерой влияния ограничений на целевую функцию. Поэтому практический интерес представляет определение предельных значений ограничений (нижней и верхних) границ, в которых величины оценок остаются неизменными;

• показателем эффективности производства отдельных видов продукции с позиций критерия оптимальности. Это свойство следует из теоремы 2; его суть заключатся в том, что в оптимальный план может быть включена лишь та продукция j-го вида, для которой выполняется условие

• инструментом сопоставления суммарных условных затрат и результатов.Это свойство следует из теоремы 1, в которой устанавливается связь между значениями целевой функции прямой и двойственной задач.

2.3 Решение двойственных задач

Рассмотрим решение задач с использованием теорем о двойственности на нашем сквозном примере.

Исходная задача	Двойственная задача

а) Зная решение исходной задачи, необходимо, не решая двойственную задачу, найти решение двойственной задачи.

Так как , то ограничения двойственной задачи можно записать в виде системы

Подставим в систему ограничений исходной задачи:

Тогда система ограничений двойственной задачи примет вид

Отсюда , при этом .

б) Пусть теперь дано решение двойственной задачи.

Найдем решение исходной задачи.

Так как y₁>0 y₂>0 и y₃=0, y₄=0, то по 2-й теореме о двойственности первое и второе неравенства в исходной задаче в ограничениях превращаются в равенства:

Откуда .