1.2 Некоторые свойства планов

Во всех аналитических методах решение задачи ЛП ищется последовательными приближениями. Вначале задается допустимое решение, которое затем улучшается в направлении движения к экстремуму целевой функции.

Мы в этом разделе рассмотрим несколько теорем, позволяющих провести анализ решения задачи ЛП. Предполагаем, что наша задача приведена к каноническому виду на максимум.

Теорема 1Множество всех планов задачи ЛП выпукло.

Доказательство:Возьмем два плана задачи ЛП, заданной в канонической форме:

Необходимо показать, что выпуклая комбинация из точек и , является планом.

.

То есть х является планом.

Аналогично можно показать по индукции, что выпуклая комбинация любых планов задачи ЛП также является планом.

Линейная форма ограничений задачи (1.3) приводит к тому, что граница G (если оно непустое) состоит из кусков ряда гиперплоскостей. G может либо пустым множеством, либо выпуклым многогранником, либо выпуклой многогранной областью, уходящей в бесконечность. Для облегчения изложения дальнейшего материала будем предполагать, что область G ограничена, т.е. представляет собой выпуклый многогранник.

Мы должны найти из бесконечного множества точек множества G найти точку, в которой достигается максимум целевой функции z(x). Решение этой проблемы облегчается тем фактом, что замкнутую многогранную область G порождает конечное число особых точек (крайних точек), являющихся вершинами многогранника. Крайней точкой называют точку множества G, которая не может быть представлена как линейная комбинация двух других точек из множества G. Остальные точки G являются выпуклыми комбинациями крайних точек, т.е. как говорят в теории множеств, G является выпуклой оболочкой своих крайних точек.

Теорема 2 Линейная форма z(x)=c^Tx задачи ЛП достигает своего максимума в крайней точке выпуклой области планов G. Если z(x) достигает максимума более чем в одной крайней точке, то она достигает того же значения в любой другой точке, являющейся выпуклой комбинацией этих точек.

Доказательство: Обозначим крайние точки области G (вершины выпуклой многогранной области) через х(1), …, х(k), оптимальный план – через . Считаем, что максимум достигается только в одной точкех⁰, т.е. z(x⁰)>z(x), хG.

Покажем, что х⁰ может быть только крайней точкой области G. Если она не крайняя, то она может быть представлена выпуклой комбинацией крайних точек:

Рассчитаем z(x⁰), учитывая линейность функции z:

Пришли к противоречию. Следовательно, x⁰ может быть только крайней точкой области G.

Предположим далее, что существует несколько крайних точек х(1), …, х(m), в которых целевая функция z(x) достигает своего максимального значения: z(x(1))=…=z(x(m))=z⁰ z(x⁰). Тогда в точках величинаz(x) также достигает максимального значения Теорема доказана.

Определение. План x задачи ЛП, заданной в канонической форме (1.3), называется невырожденным опорным планом, если число ненулевых компонент плана х равно рангу матрицы А, и векторы столбцы матрицы А, соответствующие ненулевым компонентам х, линейно независимы.

В (1.3) матрица А имеет размер (m×n). Будем считать для простоты, что ранг r=m, т.е. матрица А имеет m линейно независимых столбцов.

Определение. Система m линейно независимых столбцов матрицыA называется базисом опорного плана х (в векторе х компоненты положительны, а остальные нулевые) и обозначаетсяB_x.

Примем без доказательства следующую теорему.

Теорема 3 План х^T=(х₁, х₂, … ,х_n) является крайней точкой G в том и только в том случае, если он опорный.

Сформулируем основные результаты раздела.

1. Множество планов задачи ЛП соответствует множеству точек выпуклого многогранника G.

2. Множество опорных планов соответствует множеству крайних точек многогранника G.

3. Каждой крайней точке соответствует базис из m векторов из данной системы n векторов-столбцов матрицы А.

4. Оптимальный план находится среди опорных (базисных).

Все конечные методы решения ЛП основываются на переборе тем или иным способом опорных планов и выборе из них оптимального.