5.1.4 Метод потенциалов

После определения начального решения с помощью одного из методов, описанных выше, применяется алгоритм, позволяющий найти оптимальное решение транспортной задачи.

1. На основе симплексного условия оптимальности среди текущего множества небазисных переменных определяется вводимая в базис переменная, которая улучшит значение целевой функции. Если условие оптимальности выполняется для всех небазисных переменных, вычисления заканчиваются, в противном случае необходимо перейти ко второму шагу.

2. С помощью симплексного условия допустимости определяется исключаемая из базиса переменная. Происходит изменение базиса и возврат к первому шагу.

При изменении базиса в данном случае не используются вычисления, выполняемые при реализации симплекс-метода, - специальная структура транспортной таблицы позволяет значительно упростить вычисления.

Решим транспортную задачу из примера 5.1, используя начальное решение, полученное методом северо-западного угла (таблица 5.2).

В методе потенциалов каждой i-й строке и каждому j-му столбцу транспортной таблицы ставятся в соответствие числа (потенциалы или двойственные переменные) u_i и v_j. Для каждой базисной переменной x_ij потенциалы u_i и v_j удовлетворяют уравнению u_i + v_j=c_ij.

В рассматриваемом примере имеем 7 переменных (потенциалов) и 6 уравнений, соответствующих шести базисным переменным. Чтобы найти значения потенциалов из этой системы уравнений, нужно присвоить одному из них произвольное значение (обычно полагают u₁=0) и затем последовательно вычислять значения остальных потенциалов.

Поскольку для базисных клеток верны равенства u₁+v₁=с₁₁=10 и u₁+v₂=с₁₂=2, то находим, что v₁=10 и v₂=2. Далее последовательно находим значения для u₂ из равенства u₂+v₂=с₂₂=7. Оно будет равно u₂=5. Далее легко находим потенциалы v₃, v₄ из равенств u₂+v₃=с₂₃=9 и u₂+v₄=с₂₄=20. То есть v₃=4 и v₄=15. И последний потенциал u₃ находим из условия, что u₃+v₄=с₂₄=18. Он равен u₃=3.

Теперь вычислим выражения u_i + v_j - c_ij для всех небазисных переменных.

Небазисные переменные	Значения ui + vj - cij
х13	u1+v3-c13=0+4-20=-16
х14	u1+v4-c14=0+15-11=4
x21	u2+v1-c21=5+10-12=3
x31	u3+v1-c31=3+10-4=9
x32	u3+v2-c32=3+2-14=-9
x33	u3+v3-c33=3+4-16=-9

Вычисленные значения совместно с нулевыми значениями для базисных переменных (поскольку u_i + v_j - c_ij=0 для любой базисной переменной х_ij) фактически являются коэффициентами z-строки симплекс-таблицы.

базис	x11	x12	x13	x14	x21	x22	x23	x24	x31	x32	x33	x34
z	0	0	-16	4	3	0	0	0	9	-9	-9	0

Поскольку в транспортной задаче ведется поиск минимума стоимости перевозок, то вводимой в базис будет переменная, имеющая наибольший положительный коэффициент в z-строке. В данном случае вводимой будет переменная х₃₁.

Описанные вычисления обычно выполняются непосредственно в транспортной таблице, как показано в таблице 5.4. Для потенциалов в таблицу добавляем еще один столбец справа и строку снизу. В этом случае нет необходимости в явном виде выписывать уравнения потенциалов. Вычисления в транспортной таблице начинаются с присвоения потенциалу u₁=0. Затем находим v-потенциалы в первой строке. Потом, используя v₂, находим u₂ и так далее находим все потенциалы. После этого вычисляем для всех небазисных переменных величины u_i + v_j - c_ij и записываем их в правом нижнем углу соответствующей ячейки транспортной таблицы.

Определив вводимую в базис переменную x₃₁, далее следует определить исключаемую переменную. Для этого строим цикл (маршрут перевозок, начинающийся и заканчивающийся во вводимой переменной). Цикл состоит из последовательности горизонтальных и вертикальных отрезков (но не диагональных), соединяющих ячейки, соответствующие текущим базисным переменным, и ячейку, соответствующую вводимой переменной. При этом все ячейки, в которых делается поворот, меняют значения. В нечетных вершинах цикла увеличиваем на  перевозки, а в нечетных уменьшаем на . Значение  выбирается так, чтобы одна базисная переменная стала равной нулю там, где отнимается  и в ячейке, вводимой в базис, значение увеличится на , т.е. она станет базисной.

Таблица 5.4

мельницы		1		2		3		4		предло-
элеваторы										жение
	1	-	10	+	2		20		11		u1=0
		5		10			-16		4	15
	2		12	-	7		9	+	20		u1=5
			3	5		15		5		25
	3	+	4		14		16	-	18		u1=3
			9		-9		-9	10		10
Спрос		5		15		15		15		50
		v1=10		v2=2		v3=4		v4=15

Понятно, что  надо выбрать как минимум всех стоимостей перевозок с_ij , находящихся на четных вершинах цикла. Тогда выполнятся два условия цикла (маршрута перевозок):

1. Должны выполняться ограничения на спрос и предложение.

2. Ни по какому отрезку маршрута не должны выполняться перевозки с отрицательными объемами грузов.

Подобный цикл представлен в таблице 5.4. Он начинается из ячейки (3,1) и там же заканчивается и перевозит по всем отрезкам цикла 5 единиц груза.

Таблица 5.5

мельницы		1		2		3		4		предло-
элеваторы										жение
	1		10	-	2		20	+	11		u1=0
			-9	15			-16		4	15
	2		12	+	7		9	-	20		u1=5
			-6	0		15		10		25
	3		4		14		16		18		u1=3
		5			-9		-9	5		10
Спрос		5		15		15		15		50
		v1=1		v2=2		v3=4		v4=15

Цикл проходит через ячейки х₃₁, х₃₄, х₂₄, х₂₂, х₁₂, х₁₁ и х₃₁. В каждой ячейке цикла изменяем значения на =min(x₃₄, х₂₂, х₁₁)=5. В нечетных прибавляем 5 единиц, а в четных ячейках уменьшаем на 5 единиц. Получится таблица 5.5.

Новая суммарная стоимость перевозок равна

f=15*2+5*4+0*7+15*9+5*18+10*20=475.

В новой транспортной таблице 6.5, используя новые базисные переменные, находим новые потенциалы. Они все будут принимать прежние значения, кроме v₁=1. Находим также в небазисных переменных разности u_i + v_j - c_ij и записываем в правом нижнем углу. Максимальное положительное значение находится в ячейке (1,4) (оно равно +4), следовательно, вводить будем переменную х₁₄. Строим также цикл через ячейки х₁₄, х₁₂, х₂₂ и х₁₄, по которому перебросим 10 единиц груза. В результате получим транспортную таблицу 5.6.

Таблица 5.6

мельницы		1		2		3		4		предло-
элеваторы										жение
	1		10		2		20		11		u1=0
			-13	5			-16	10		15
	2		12		7		9		20		u1=5
			-10	10		15			-4	25
	3		4		14		16		18		u1=7
		5			-5		-5	5		10
Спрос		5		15		15		15		50
		v1=-3		v2=2		v3=4		v4=11

Новая суммарная стоимость перевозок равна

f=5*2+5*4+10*7+15*9+10*11+5*18=435.

Найдем для нового базисного решения потенциалы u_i и v_j. Теперь новые значения величин u_i + v_j - c_ij для всех небазисных переменных х_ij отрицательные. Поэтому решение, представленное в таблице 5.6, оптимально.

На этом вычисления заканчиваются, и выписывается решение транспортной задачи:

От элеватора	До мельницы	Количество зерновозов
1	2	5
1	4	10
2	2	10
2	3	15
3	1	5
3	4	5

Минимальная стоимость перевозок равна 435 тысяч рублей.