Лекция 2 Двойственная задача. Двойственный симплекс-метод. Комбинированный метод решения злп

2.1 Постановка двойственной задачи

Пусть дана общая задача линейного программирования (ЛП):

(2.1)

Двойственной к ней задачей называется задача следующего вида:

(2.2)

Задачи (2.1) и (2.2) образуют пару взаимно-двойственных задач. Задача (2.2), двойственная к задаче (2.1), строится по правилам:

1. Упорядочивается запись исходной задачи, т.е. если целевая функция задачи максимизируется, то ограничения-неравенства должны иметь знак ≤, если минимизируется, то знак ≥. Выполнение этих условий можно достичь умножением соответствующего ограничения на (-1) в случае необходимости.

2. Каждой переменной y_i двойственной задачи соответствует i-е ограничение исходной задачи, и наоборот, каждой переменной х_j исходной задачи соответствует j-е ограничение двойственной задачи.

3. Если исходная задача является задачей максимизации, то двойственная задача будет задачей минимизации и наоборот. При этом вектор, образованный из коэффициентов при неизвестных целевой функции исходной задачи, совпадает с вектором констант в правых частях ограничений двойственной задачи. Аналогично связаны между собой векторы, образованные из коэффициентов при неизвестных целевой функции двойственной задачи, и константы в правых частях ограничений исходной задачи.

4. Матрица из коэффициентов при неизвестных в ограничениях двойственной задачи A^T образуется транспонированием матрицы A=(a_ij)_m×n, составленной из коэффициентов при неизвестных в ограничениях исходной задачи.

5. Если на j-ю переменную исходной задачи наложено условие неотрицательности, то j-е ограничение двойственной задачи будет являться неравенством, а в противном случае это ограничение будет равенством. Аналогично связаны между собой ограничения исходной задачи и переменной двойственной задачи.

Можно дать экономическую интерпретацию пары двойственных задач. Рассмотрим задачу рационального использования ресурсов (исходную задачу). Пусть предприятие располагает запасами ресурсов которые могут использоваться для выпускаn видов продукции. Известна стоимость единицы j-го вида продукции c_j (j=1,2,…,n) и нормы потребления i-го ресурса a_ij (i=1,…,m) на производство j-го вида продукции. Требуется определить объем производства продукции каждого вида х_j (j=1,…,n), при котором суммарная стоимость выпуска продукции будет максимальной:

(2.3)

По задаче ЛП (2.2) сформулируем другую экономическую задачу (двойственную).

Предположим, что некоторая фирма может закупить все ресурсы, которыми располагает предприятие. Необходимо определить оптимальные цены y_i (i=1,…,m) на эти ресурсы, исходя из условия, что покупающая фирма стремится минимизировать общую стоимость ресурсов. Следует также учитывать и то, что фирма должна уплатить сумму, не меньшую, которую может выручить предприятие при организации собственного производства продукции.

Математическая модель имеет следующий вид:

(2.4)

Здесь Z(y) – общая оценка ресурсов. Каждое j-е ограничение из задачи (2.4) представляет собой неравенство, левая часть которого равна оценке всех ресурсов, расходуемых на производство единицы j-го вида продукции, а правая – стоимости единицы продукции.

Задачи (2.3) и (2.4) образуют симметричную пару взаимно двойственных задач.

Цены ресурсов y₁, y₂, …. , y_m получили различные названия: учетные, неявные, теневые. Смысл в том, что это условные ненастоящие цены. В отличие от «внешних» цен c₁, c₂, … , c_n на продукцию, известных до начала производства, цены ресурсов y₁, y₂, …. , y_m являются внутренними, поскольку они не задаются извне, а определяются в результате решения задачи, поэтому их называют оценками ресурсов.