Лекция 5 Методы решения транспортной задачи

5.1 Решение транспортной задачи

5.1.1 Постановка транспортной задачи

Транспортная задача – одна из самых распространенных задач ЛП. Ее цель- разработка наиболее рациональных путей и способов транспортирования товаров, устранение чрезмерно дальних, встречных и повторных перевозок.

В общем виде задачу можно представить следующим образом: в m пунктах поставки А₁, А₂, …., А_m имеется однородный груз в количестве соответственно а₁, а₂, … , а_m. Этот груз необходимо доставить в n пунктов назначения В₁, В₂, … , В_n в количестве b₁, b₂, …, b_n соответственно. Стоимость перевозки единицы груза из пункта А_i в пункт В_j (тариф) равна с_ij. Требуется составить план перевозок, позволяющий вывезти все грузы, удовлетворить всех потребителей и имеющий минимальную стоимость. Если , то задача называется закрытой; если , то открытой. Открытую транспортную задачу можно свести к закрытой путем введения фиктивного поставщика или фиктивного потребителя с нулевыми тарифами с_ij=0.

Обозначим через х_ij – количество груза, перевозимого из пункта А_i в пункт B_j. Матрица, составленная из грузов х_ij , называется опорным решением или матрицей перевозок.

Математическая модель закрытой транспортной задачи имеет вид:

(5.1)

Оптимальным решением задачи 5.1 является матрица х={x_ij} _m×n, удовлетворяющая ограничениям и доставляющая минимум целевой функции.

6.1.2 Интерпретация метода потенциалов как симплекс-метода

Последовательность шагов алгоритма решения транспортной задачи в точности повторяет аналогичную последовательность этапов симплексного алгоритма.

1. Определяем начальное базисное решение, затем переходим к выполнению второго шага.

2. На основании условия оптимальности симплекс-метода среди всех небазисных переменных определяем вводимую в базис. Если все небазисные переменные удовлетворяют условию оптимальности, вычисления заканчиваются; в противном случае переходим к третьему шагу.

3. С помощью условия допустимости симплекс-метода среди текущих базисных переменных определяем исключаемую. Затем находим новое базисное решение. Возвращаемся ко второму шагу.

Связь метода потенциалов с симплекс-методом основывается на соотношениях двойственности задач ЛП. Исходя из специальной структуры транспортной задачи (5.1), двойственная ей задача будет записана в следующем виде.

(5.2)

Из соотношений двойственности следует, что коэффициент при переменной х_ij в выражении целевой функции должен быть равен разности между левой и правой частями соответствующего ограничения двойственной задачи, т.е величине u_i+v_j-c_ij. Но мы знаем, эта величина по второй теореме о двойственности для каждой базисной переменной равна нулю. Другими словами, для этих переменных должно выполняться равенство u_i+v_j=c_ij. Имея m+n-1 таких равенств и решая их как систему линейных уравнений (после присвоения какой-либо переменной произвольного значения, например u₁=0), находим значения потенциалов u_i и v_j. Вычислив значения потенциалов, далее определяем вводимую в базис переменную среди всех небазисных как переменную, имеющую наибольшее положительное значение величины u_i+v_j-c_ij.

Присвоение одной из двойственных переменных произвольного значения (например u₁=0) противоречит представлениям о том, что двойственное решение единственно, ведь оно находится как произведение вектора коэффициентов целевой функции при базисных переменных на обратную матрицу коэффициентов при базисных переменных ограничений (). Но это не так, и можно показать, что значение целевой функции не меняется при замене C_B на С_B+k, что присвоение одной двойственной переменной произвольного значение равносильно прибавлению к коэффициентам целевой функции произвольной константы k ко всем коэффициентам с_ij.

Алгоритм решения транспортной задачи будет проиллюстрирован на следующем примере 5.1

Пример 5.1

Транспортная компания занимается перевозкой зерна специальными зерновозами от трех элеваторов к четырем мельницам. В таблице 5.1 показаны возможности отгрузки зерна (предложения) элеваторами (в зерновозах) и потребности (спрос) мельниц (также в зерновозах), а также стоимости перевозки зерна одним зерновозом от соответствующего элеватора к соответствующей мельнице. Стоимость перевозок с_ij приведена в сотнях тысяч рублей.

Таблица 5.1

мельницы		1		2		3		4		предло-
элеваторы										жение
	1		10		2		20		11
		x11		x12		x13		x14		15
	2		12		7		9		10
		x21		x22		x23		x24		25
	3		4		14		16		18
		x31		x32		x33		x34		10
Спрос		5		15		15		15		50

В данной задаче требуется определить структуру перевозок между элеваторами и мельницами с минимальной стоимостью. Для этого необходимо найти объемы перевозок x_ij между i-м элеватором и j-й мельницей.