08-МУ к лаб_занятиям

21

Для нахождения оптимального решения и его анализа необходимо после запуска в Excel задачи на решение в окне Результаты поиска решения выделить с помощью мыши два типа отчетов: "Результаты" и "Устойчивость" (рисунок 14).

Рисунок 14 - Выделение типов отчетов для анализа чувствительности

Отчет по результатам

Отчет по результатам состоит из трех таблиц (рисунок 15):

1)таблица 1 содержит информацию о целевой функции;

2)таблица 2 содержит информацию о значениях переменных, полученных в результате решения задачи;

3)таблица 3 показывает результаты оптимального решения для ограничений и для граничных условий.

Если ресурс используется полностью (то есть ресурс дефицитный), то в графе "Статус" ("Состояние") соответствующее ограничение указывается как "связанное"; при неполном использовании ресурса (то есть ресурс недефицитный) в этой графе указывается "не связан". В графе "Значение" приведены величины использованного ресурса.

Для граничных условий (строки 22, 23, на рисунке 15) в графе "Разница" показана разность между значением переменной в найденном оптимальном решении и заданным для нее граничным условием.

Таблица 3 отчета по результатам дает информацию для анализа возможного изменения запасов недефицитных ресурсов при сохранении полученного оптимального значения целевой функции. Так, если на ресурс наложено ограничение типа ³ , то в графе "Разница" дается количество ресурса, на которое была превышена минимально необходимая норма. Если на ресурс наложено ограничение типа £ , то в графе "Разница" дается количество ресурса, которое не используется при реализации оптимального решения. Так, анализ строк 19, 20, 21 (рисунок 15) отчета по результатам показывает, что сырье 1 и 2 видов израсходовано полностью , то есть в

22

количестве 505 кг и 393 кг, соответственно. Сырье 3 вида использовано в количестве 312 кг. Неизрасходованным остается 36 кг. Из этого следует, что запас недефицитного сырья 3 вида можно уменьшить на 36 кг и это никак не повлияет на оптимальное решение.

Рисунок 15 - Лист отчета по результатам

Отчет по устойчивости

Отчет по устойчивости состоит из двух таблиц (рисунок 16). Таблица 1 содержит информацию, относящуюся к переменным.

1.Результат решения задачи.

2.Нормированная стоимость, которая показывает, на сколько изменится значение целевой функции в случае принудительного включения единицы этой продукции в оптимальное решение.

3.Коэффициенты целевой функции.

4. Предельные значения приращения целевых коэффициентов c j ,

при которых сохраняется набор переменных, входящих в оптимальное решение. Например, допустимое увеличение и уменьшение прибыли от реализации единицы продукцию вида А равно 3 тыс. руб./ед. (строка 4 в отчете по устойчивости). Это означает, что если цена на этот вид продукции возрастет или уменьшится более чем на 3 тыс. руб./ед., например, станет равной 11 тыс. руб./ед., то структура оптимального решения не изменится.

24

Порядок выполнения работы

1.Решить задачу, приведенную в лабораторной работе №2, с помощью

MS Excel.

2.Проанализировать полученное решение.

3.Оформить отчет по лабораторной работе, который должен содержать:

∙название работы;

∙исходные данные варианта;

∙построенную модель задачи;

∙результаты и анализ решения задачи.

Контрольные вопросы

1.Какую информацию дает отчет по результатам?

2.Какую информацию дает отчет по устойчивости?

3.Для каких ресурсов рассчитывается теневая цена?

4.Как можно проанализировать значения в колонках Допустимое увеличение, Допустимое уменьшение таблиц отчета по устойчивости?

5.Как определить количество использованных ресурсов?

6.Как определить количество неиспользованных ресурсов?

7.Как можно улучшить оптимальное решение?

Лабораторная работа № 4 Определение и анализ оптимальной программы производства

Цель работы: приобретение навыков построения двойственной задачи линейного программирования и анализа оптимального решения прямой задачи с использованием решения двойственной задачи.

Рассмотрим задачу определения оптимальной программы производства.

Условие задачи

В цехе установлено два типа оборудования и имеются запасы сырья двух видов. На данном оборудовании из этого сырья можно выпускать продукцию трех видов.

Требуется:

1.Определить оптимальный план производства при заданных запасах сырья и плановых заданиях, максимизирующий прибыль от реализации продукции.

2.Оценить дефицитность используемых ресурсов.

3.Оценить целесообразность проведения мероприятий, связанных с заменой 5 единиц сырья 1-го вида на 3 единицы 2-го вида.

Исходные данные приведены в таблице 3.

1.Составим математическую модель задачи.

Пусть x1, x2 , x3 - оптимизируемое количество продукции, соответственно, первого, второго и третьего видов.

26

Вывод. Численные значения полученных двойственных оценок показывают, что изменение планового задания на продукцию первого вида

(ему соответствует y1 =0) не приводит к увеличению прибыли; не приводит к увеличению прибыли и увеличение запаса сырья первого вида ( y 4 =0), в то время как увеличение плановых заданий на продукцию второго и третьего видов на 1 единицу приведет к уменьшению прибыли на 3,3 тыс.руб. и 7,6

тыс. руб., соответственно ( y2 =3,3; y3 =7,6), а увеличение запаса сырья второго вида на 1 единицу приведет к увеличению прибыли на 4,8 тыс. руб. ( y5 =4,8). Таким образом, из двух видов сырья первый является

недефицитным ( y4 =0), а второй – дефицитным ( y5 >0).

4. Оценим целесообразность замены 5 единиц сырья первого вида на 3 единицы сырья второго вида.

Для оценки целесообразности данного мероприятия воспользуемся двойственными оценками, имея в виду, что они являются коэффициентами пропорциональности между правыми частями ограничений и целевой функцией. Тогда приращение прибыли определяется выражением

F = −5y4 + 5y5 = 14,4.

Так как F > 0 при F → max , то следует считать данное мероприятие целесообразным.

Порядок выполнения работы

1.Составить математическую модель задачи (графа 2 таблицы 4).

2.Определить оптимальный план производства.

3.Оценить дефицитность используемых ресурсов.

4.Оценить целесообразность мероприятий, связанных с некоторым изменением исходных условий (графа 3 таблицы 4).

5.Оформить отчет по лабораторной работе, который должен содержать:

∙название работы;

∙исходные данные варианта;

∙результаты и анализ решения задачи.

Таблица 4 – Условия задач

27

29

aij - норма расхода сырья i-го вида на производство единицы продукции j-го вида;

tij - время обработки единицы продукции j-го вида на оборудовании i-

го вида;

Bi - запас сырья i-го вида;

Ti - фонд времени работы оборудовании i-го вида;

Pj - прибыль от реализации единицы продукции j-го вида;

C j - себестоимость производства единицы продукции j-го вида;

K j - количество продукции j-го вида, входящей в один комплект;

Q- плановая прибыль;

Ï j - план производства продукции j-го вида.

Контрольные вопросы

1.Правила перехода от прямой к двойственной задаче линейного программирования.

2.Экономический смысл двойственных оценок.

3.Основные теоремы двойственности.

4.Способы определения целесообразности некоторого изменения условий производства без повторного решения оптимизационной задачи.

Лабораторная работа № 5 Определение оптимальных маршрутов транспортировки груза

Цель работы: приобретение навыков решения транспортной задачи в табличном процессоре MS Excel.

Постановка транспортной задачи

В т пунктах отправления А1, А2,..., Аm находится однородный груз (лес,

пиломатериалы, уголь и т.д.) в количествах соответственно a1 ,a2 ,...,am , который должен быть доставлен n потребителям В1, В2,..., Вn в количествах b1 ,b2 ,...,bn . Задана матрица || cij || m × n , где cij - стоимость перевозки единицы продукции из пункта Ai в пункт Bj. Требуется составить такой план перевозок, который обеспечивает:

-минимальные транспортные расходы;

-доставку необходимого количества груза в каждый из пунктов назначения;

-вывоз имеющегося груза из всех пунктов отправления.

Для разрешимости поставленной задачи необходимо и достаточно, чтобы сумма запасов равнялась сумме потребностей в грузе, то есть

m n

∑ai = ∑bj .

i=1 j=1

30

В этом случае транспортная задача называется закрытой.

Математическая модель транспортной задачи

Обозначим через xij количество единиц груза, перевозимого из пункта

Аi в пункт Bj. Из реального смысла xij ³ 0.

Тогда математическая постановка закрытой транспортной задачи состоит в определении минимального значения функции

называется матрица Х = xij m×n , элементы которой xij удовлетворяют системе

ограничений и условиям неотрицательности.

Таким образом, математически транспортную задачу можно сформулировать следующим образом. Даны целевая функция (14), система ограничений (15), (16) и условия (17). Требуется найти допустимое решение, минимизирующее целевую функцию (14). Это решение будет являться оптимальным.

Решение транспортных задач в Excel

Рассмотрим решение задачи, суть которой заключается в оптимальной организации транспортных перевозок товара от четырех поставщиков трем потребителям. Известны запасы товара в пунктах поставки, потребности потребителей транспортные расходы на перевозку единицы товара (тарифы), которые представлены в таблице 7.

Таблица 7 - Исходные данные транспортной задачи