08-МУ к лаб_занятиям

11

Для этого надо нажать кнопку Параметры и заполнить некоторые поля окна

Параметры поиска решения (рисунок 8).

Рисунок 8 - Параметры поиска решения, подходящие для большинства задач линейного программирования

Параметр Максимальное время служит для назначения времени (в секундах), выделяемого на решение задачи.

Параметр Предельное число итераций служит для управления временем решения задачи путем ограничения числа промежуточных вычислений.

Параметр Относительная погрешность служит для задания точности, с которой определяется соответствие ячейки целевому значению или приближение к указанным границам. Поле должно содержать число из интервала от 0 до 1.

Параметр Допустимое отклонение служит для задания допуска на отклонение от оптимального решения в целочисленных задачах.

Параметр Сходимость применяется при решении нелинейных задач. Установка флажка Линейная модель обеспечивает ускорение поиска

решения линейной задачи за счет применения симплекс-метода.

Запуск задачи на решение

Запуск задачи на решение производится из окна Поиск решения путем нажатия кнопки Выполнить.

После запуска на решение на экране появляется окно Результаты поиска решения, в котором решения представлены названия трех типов отчетов: "Результаты", "Устойчивость", "Пределы". Они необходимы при анализе полученного решения. Если при вводе условий задачи в Excel были допущены ошибки, то после запуска задачи на решение на экран будет выдано соответствующее сообщение с указанием причины, по которой решение не найдено.

12

Для получения ответа (значений переменных, целевой функции и левых частей ограничений) прямо в экранной форме надо нажать кнопку OK. После этого в экранной форме появляется оптимальное решение задачи (рисунок 9).

Рисунок 9 - Экранная форма задачи (8) после получения решения

Порядок выполнения работы

1.Для задачи линейного программирования, соответствующей заданному варианту, найти оптимальное решение в табличном процессоре

Microsoft Excel

2.Оформить отчет по лабораторной работе, который должен содержать:

Задание

15

задача анализа чувствительности задачи ЛП, а именно того, как возможные изменения параметров исходной модели повлияют на полученное ранее оптимальное решение.

Выделяют следующие три задачи анализа на чувствительность.

1.Анализ сокращения или увеличения ресурсов:

1)на сколько можно увеличить запас дефицитного ресурса для улучшения оптимального значения целевой функции?

2)на сколько можно уменьшить запас недефицитного ресурса при сохранении полученного оптимального значения целевой функции?

2.Увеличение (уменьшение) запаса какого из ресурсов наиболее выгодно?

3.Анализ изменения коэффициентов целевой функции: каков диапазон изменения коэффициентов целевой функции, при котором не меняется оптимальное решение?

Если число переменных задачи линейного программирования равно 2, то задачу можно решить графически. Графический метод решения ЗЛП состоит из следующих этапов.

Этап 1. Сначала на координатной плоскости x1 0x2 строится область допустимых решений (ОДР) – совокупность точек, координаты каждой из которых составляют решение системы ограничений задачи. Далее строится

перпендикулярная вектору-градиенту, передвигается в направлении этого вектора в случае максимизации F(X) до тех пор, пока не покинет пределов области допустимых решений. Предельная точка (или точки) области при этом движении и является точкой максимума F(X).

Этап 3. Для нахождения координат точки максимума надо решить совместно два уравнения прямых, получаемых из соответствующих ограничений и дающих в пересечении точку максимума. Значение F(X), найденное в получаемой точке, является максимальным.

В случае минимизации целевой функции прямую c1 x1 + c2 x2 = F (X ) надо двигать в направлении, противоположном вектору-градиенту.

Анализ оптимального решения на чувствительность

Рассмотрим графическое решение ЗЛП, представленное на рисунке 10. Ограничения задачи классифицируются на связывающие и не связывающие. Связывающие ограничения проходят через оптимальную точку, например, (1) и (2) на рисунке 10. Не связывающие ограничения не проходят через оптимальную точку, например, (3), (4) и (5) на рисунке 10. Аналогично, ресурс, представляемый связывающим ограничением,

16

называют дефицитным, а ресурс, представляемый не связывающим ограничением, – недефицитным. Ограничение называют избыточным в том случае, если его исключение не влияет на область допустимых решений и, следовательно, на оптимальное решение, например, (5).

(3)

(5)

В

АС

F

D (1)

F (X ) = const

Рисунок 10 - Графическое решение задачи линейного программирования

Область допустимых решений задачи на рисунке 10 – многоугольник ОABCDE. Если прямую (2) передвигать до точки F, то это приведет к расширению области допустимых решений до многоугольника ОABCFE и к получению нового оптимального решения в точке F (рисунок 11).

(2)

(4)

В

АС

F

(1)

Fmax (X )

Рисунок 11 - Анализ максимального изменения запаса дефицитного ресурса

(2) с целью улучшения оптимального решения

17

При этом ограничение (2) станет избыточным. Новое решение (F) лучше прежнего (C), поскольку для пересечения с точкой F линия уровня F (x) = const должна пройти по направлению вектора, выходящего из начала координат и показывающего направление максимизации целевой функции, дальше точки С (рисунок 11).

Таким образом, чтобы графически определить максимальное изменение запаса дефицитного ресурса, улучшающее оптимальное решение, необходимо передвигать соответствующую прямую в направлении улучшения целевой функции до тех пор, пока это ограничение не станет избыточным.

Графический анализ максимально возможного изменения запаса недефицитного ресурса показан на рисунке 12. Передвинем не связывающее ограничение (3) до пересечения с оптимальным решением в точке С. Это соответствует уменьшению запаса недефицитного ресурса (3), который в оптимальной точке С исходной задачи расходовался не полностью. Областью допустимых решений станет многоугольник OGCDE. Оптимальное решение останется прежним (точка С). Таким образом, чтобы графически определить максимальное изменение запаса недефицитного ресурса, не меняющее оптимального решения, необходимо передвигать соответствующую прямую до пересечения с оптимальной точкой.

(5)

F (X ) = const

Рисунок 12 - Анализ максимального изменения запаса недефицитного ресурса (3), не изменяющего оптимальное решение

Для того чтобы выяснить, запас какого из дефицитных ресурсов выгоднее увеличивать в первую очередь, необходимо определить, какую пользу (например, прибыль) принесет увеличение запасов каждого из них на единицу. Для этих целей вводится понятие ценности дополнительной единицы i-го ресурса (теневая цена):

Сначала наращивается запас ресурса, имеющего максимальное значение yi , затем – второе по величине и т.д.

Графический анализ изменения коэффициентов целевой функции (например, цен на производимую продукцию), не приводящих к изменению оптимального решения, проводится путем вращения линии уровня. При

увеличении коэффициента целевой функции c1 или уменьшении коэффициента c2 прямая, соответствующая максимальному значению целевой функции на графике, вращается вокруг оптимальной точки по часовой стрелке. Если c1 уменьшается или увеличивается c2 , то эта прямая вращается вокруг оптимальной точки против часовой стрелки (рисунок 13).

Зафиксируем значение c2 . Оптимальное решение в точке С не будет меняться при увеличении c1 до тех пор, пока прямая соответствующая максимальному значению целевой функции, не совпадет с прямой (2). Аналогично, оптимальное решение в точке С не будет меняться при уменьшении c1 до тех пор, пока прямая не совпадет с прямой

(1). При таких поворотах точка С будет оставаться оптимальной до тех пор,

пока прямая Fmax (X ) не выйдет за границы, определяемые прямыми (1) и

J

Рисунок 13 - Анализ изменения коэффициентов целевой функции

19

Таким образом, нижний и верхний пределы изменения цены 1

определяются значениями коэффициента c1 , при которых прямая Fmax (X ) совпадает соответственно с прямыми (1) и (2).

Аналогичные выводы можно сделать при фиксированном значении коэффициента c1 .

Порядок выполнения работы

1.Рассчитать исходные данные задачи (таблица 2). Они определяются цифрами номера зачетки. Обозначим их буквами А, В, С, D, Е, F, где А- первая цифра зачетки, В – вторая, С – третья и т. д. Если в номере зачетки есть нули, то соответствующие значения в исходных данных следует принять равными 10.

2.Составить математическую модель задачи и решить ее графически.

3.Проанализировать полученное решение.

4.Оформить отчет по лабораторной работе, который должен содержать:

Задание

В результате анализа хозяйственной деятельности предприятия выявлены неиспользованные ресурсы, позволяющие освоить выпуск двух новых видов продукции: А и В. В число этих ресурсов входит сырье двух видов в количестве С1 и С2, соответственно, имеются необходимые для этого фрезерные и строгальные станки, причем, ресурс их свободного машинного времени, составляет Мф и Мс, соответственно. Кроме того, имеются свободные трудовые ресурсы в количестве Т.

На изготовление единицы продукции вида А расходуется С1а сырья первого вида и С2а сырья второго вида, на единицу продукции вида В - С1в и С2в, соответственно. Нормы расхода машинного времени фрезерных станков на производство единицы продукции вида А - Мфа, на производство единицы продукции вида В - Мфв. Для строгальных станков эти нормы составляют соответственно Мса и Мсв. Нормы расхода трудовых ресурсов: Та и Тв .

От реализации единицы продукции вида А предприятие может получить прибыль в размере Па, от реализации единицы продукции вида В- Пв условных единиц стоимости.

Таблица 2 - Исходные данные задачи

20

Контрольные вопросы

1.Как построить область допустимых решений ЗЛП?

2.Как найти оптимальное решение задачи?

3.Как можно графически определить максимальное изменение запаса дефицитного ресурса, улучшающее оптимальное решение?

4.Как графически определить максимальное изменение запаса недефицитного ресурса, не меняющее оптимального решения?

5.Как определить, запас какого из дефицитных ресурсов выгоднее увеличивать в первую очередь?

6.Объяснить построение математической модели производственной задачи.

7.Какие ограничения задачи называются связывающими, какие - не связывающими?

Лабораторная работа №3 Анализ чувствительности оптимального решения задачи оптимизации плана производства в табличном процессоре Microsoft Excel

Цель работы: приобретение навыков анализа чувствительности оптимального решения задачи линейного программирования, полученного в табличном процессоре MS Excel.

Проведем анализ чувствительности на примере решения производственной задачи.

Постановка задачи. Предприятие выпускает продукцию двух видов: А и В. На производство единицы продукции вида А расходуется 5 кг материала первого вида, 3 кг второго вида и 2 кг – третьего вида. На производство единицы продукции вида В расходуется 2 кг материала первого вида и по 3 кг второго и третьего вида. Запасы этих материалов составляют соответственно 505, 393 и 348 кг. От реализации единицы готовой продукции вида А предприятие получит прибыль в размере 7 тыс. руб., а от реализации единицы продукции вида В – 4 тыс. руб.

Необходимо определить количество продукции вида А и вида В, которое необходимо произвести из имеющихся материалов для получения максимальной прибыли.

В качестве элементов решения задачи примем x1 - количество единиц

продукции вида А, x2 - количество единиц продукции вида В, которые следует произвести в данных условиях.

Математическая модель задачи имеет вид:

F ( X ) = 7x1 + 4x2 → max ,