Для произвольной непрерывной

+ + функции интеграл

–

равен сумме площадей

криволинейных трапеций, взятых

с соответствующим знаком.

Если фигура не является криволинейной трапецией, то представляют ее как сумму криволинейных трапеций:.

Пример 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций ,,,.

½ 1

Пример 6. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = 1/х; ив неотрицательной координатной четверти.

Решение

График функции у = 1/х представляет собой гиперболу, при положительных х она убывает; оси координат являются асимптотами.

График функциив неотрицательной координатной четверти – ветвь параболы с точкой минимума в начале координат. Эти графики пересекаются при;; х = 1; у = 1.

Прямую y = 4 график функции у = 1/х пересекает при х =1/4, а график функциипри х = 2 (или -2).

Искомая площадь фигуры ABC равна разности между площадью прямоугольника АВНЕ, которая равна 4*(2 –1/4) = 7, и суммой площадей двух криволинейных трапеций АСFЕ и СВНF. Вычислим площадь АСFЕ:

Вычислим площадь СВНF:

.

Итак, искомая площадь равна 7 – (ln 4 + 7/3) = 14/3 – ln 4 = 3,28 (ед²).

4. Несобственные интегралы

При построении определенного интеграла предполагалось, что выполняется два условия:

1. пределы интегрирования иконечны;

2. подынтегральная функция ограничена на отрезке интегрирования.

• Интегралы с бесконечными пределами интегрирования или от неограниченных функций называются несобственными интегралами.

Пусть определена на промежуткеи интегрируема на любом отрезке, где.

• Несобственным интегралом с бесконечным пределом интегрирования (интегралом 1-го рода) называется предел интеграла при:

.

Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, а если предел не существует или равен , торасходящимся.

Пусть - первообразная функция дляна промежутке. Тогда можно применить формулу Ньютона-Лейбница:

.

Обозначая , формулу можно записать так:

.

Пример 7. .

Данный интеграл является сходящимся.

Геометрически несобственный интеграл от дает площадь бесконечной криволинейной трапеции, ограниченной сверху линией, слева, снизу осью ОХ. Если интегралсходится – площадь конечна, а если расходится – площадь бесконечна.

0

Аналогично определяется несобственный интеграл с бесконечным верхним пределом:

и несобственный интеграл с обоими бесконечными пределами:

.

Пример 8.

Данный интеграл является сходящимся.

Контрольные вопросы

1. Как находится несобственный интеграл от функции на бесконечном промежутке?