2. Таблица основных интегралов

() 2. 3. 4. 5.

6. 7. EMBED Equation.3 8. 10. 11.

3. Свойства неопределенного интеграла

Из определения неопределенного интеграла вытекают следующие свойства.

1. Знаки дифференциала и интеграла, когда первый помещен перед вторым, взаимно сокращаются:.

2. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции: .

3. Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс произвольная постоянная: .

4. Если подынтегральная функция есть производная некоторой функции, то неопределенный интеграл равен этой функции плюс произвольная постоянная: , где- произвольная постоянная.

5. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

, где - постоянный множитель.

6. Неопределенный интеграл от суммы (разности) функций равен сумме (разности) интегралов этих функций:

.

7. Неопределенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования. Переменной интегрирования может быть не только независимая переменная , но и любая дифференцируемая функция, тогда «Таблица основных интегралов» может быть записана в обозначениях , например,, где - дифференцируемая функция.

8. Достаточным условием существования неопределенного интеграла от функции является непрерывность этой функции.

4. Метод непосредственного интегрирования

Метод непосредственного интегрирования использует:

1. таблицу основных интегралов,

2. свойства неопределенного интеграла,

Примеры.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. 

Контрольные вопросы

1. Что называется первообразной для функции? Сколько первообразных функций имеет заданная функция?

2. Что называется операцией интегрирования?

3. Дайте определение неопределенного интеграла. Как называется функция , произведение, переменная?

4. Сформулируйте свойства неопределенного интеграла и запишите их с помощью символов:

а) если подынтегральная функция есть производная некоторой функции, то неопределенный интеграл равен …;

б) производная неопределенного интеграла равна ….;

в) неопределенный интеграл от дифференциала функции равен …;

г) постоянный множитель … ;

д) неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен ….

5. Как выполнить проверку операции интегрирования?

6. Сформулируйте свойство независимости вида неопределенного интеграла от выбора переменной интегрирования функции. Приведите пример.

Тема 2. Методы нахождения неопределенного интеграла

Содержание

1. Метод замены переменной интегрирования

2. Метод подведения функции под знак дифференциала

3. Метод интегрирования по частям

4. Рациональные функции

5. Интегрирование простейших рациональных дробей

6. Интегрирование рациональной дроби для.

1. Метод замены переменной интегрирования

Метод замены переменной для нахождения неопределенного интеграла использует следующее свойство:

если и- дифференцируемая функция, то

.

Отметим, что «подстановочная» функция и ее производная должны быть непрерывными функциями.

Вычисление интеграла сводится к вычислению интеграла , который должен быть «проще», чем исходный – возможно, табличный интеграл.

В частности, если аргумент подынтегральной функции есть линейная функция , то справедливо равенство:

, .

Пример 1.

1.

=

2.

=