1.5 Определение устойчивости системы по логарифмическим частотным характеристикам

А(w) – амплитудная частотная функция, модуль частотной передаточной функции разомкнутой системыW(jw).

φ(w) – аргументW(jw),φ(w)=argW(jw), фазовая частотная функция.

(1.20) (11) (1.21) (12)(1.22) (13)

Найдём ЛАЧХ разомкнутой системы. Для этого проанализируем разомкнутую систему (1.5):

1. Звено - инерционное, оно даёт наклон -20 Дб/дек;

2. Звено - усилительное. Оно даёт нам сдвиг по осиL(w) на число 20LogK.

3. Звено - интегратор, он дает наклон -20 Дб/дек, этот наклон проходит через точку ω =1, L(ω)=20*Lg(K)=21.36;

4. Звено является колебательным. Докажем это:

Данное звено дает наклон -40 Дб/дек после частоты сопряжения.

Исходя из свойств ЛАЧХ, можем записать уравнение ЛАЧХ разомкнутой системы

(1.23)

Найдём сопрягающие частоты по формуле (1.24)

Рассчитаем параметры для построения ЛФЧХ разомкнутой системы, путем суммирования ЛФЧХ всех звеньев.

Значения углов вычисляются в диапазоне частот от минимальной частоты, соответствующей началу координат до частоты, при которой фазовый сдвиг превышает (–180^º).

Запишем ЛФЧХ для каждого звена в отдельности:

для усилительного звена;

для инерционного звена;

для интегратора;

для колебательного звена.

Значения результирующей ЛФЧХ найдем как

(1.25)

Подставив численные значения в вышеприведенные формулы, рассчитаем необходимые значения. Результаты вычислений оформим в виде таблицы 3.

Таблица 3 – Расчет ЛФЧХ разомкнутой системы

Частота	Звено 1 усилительное	Звено 2 инерционное		Звено 3 колебательное		Звено 4 интегратор	Результирующая ЛФЧХ
		w*T2				φ4(ω)
0,1	0	0,010	-0,573	0,005	-0,292	-90,000	-90,865
0,3	0	0,030	-1,718	0,015	-0,877	-90,000	-92,595
0,5	0	0,050	-2,863	0,026	-1,461	-90,000	-94,324
0,7	0	0,070	-4,004	0,036	-2,046	-90,000	-96,050
0,9	0	0,090	-5,143	0,046	-2,631	-90,000	-97,774
1	0	0,100	-5,711	0,051	-2,923	-90,000	-98,634
2	0	0,200	-11,311	0,102	-5,850	-90,000	-107,161
3	0	0,300	-16,700	0,155	-8,785	-90,000	-115,486
4	0	0,400	-21,803	0,208	-11,732	-90,000	-123,535
5	0	0,500	-26,567	0,262	-14,694	-90,000	-131,261
6	0	0,600	-30,966	0,319	-17,674	-90,000	-138,640
7	0	0,700	-34,995	0,377	-20,675	-90,000	-145,670
8	0	0,800	-38,663	0,439	-23,698	-90,000	-152,361
9	0	0,900	-41,990	0,504	-26,745	-90,000	-158,736
10	0	1,000	-45,003	0,573	-29,816	-90,000	-164,820
14	0	1,400	-54,466	0,910	-42,313	-90,000	-186,779
15	0	1,500	-56,314	1,017	-45,475	-90,000	-191,789
16	0	1,600	-57,999	1,136	-48,643	-90,000	-196,642
20	0	2,000	-63,440	1,821	-61,237	-90,000	-214,676
30	0	3,000	-71,570	153,000	-89,632	-90,000	-251,202
40	0	4,000	-75,969	-2,684	-110,428	-90,000	-276,397
50	0	5,000	-78,696	-1,457	-124,457	-90,000	-293,153
60	0	6,000	-80,544	-1,034	-134,045	-90,000	-304,589
70	0	7,000	-81,876	-0,813	-140,879	-90,000	-312,755
80	0	8,000	-82,881	-0,675	-145,959	-90,000	-318,840
90	0	9,000	-83,666	-0,580	-149,872	-90,000	-323,538
100	0	10,000	-84,296	-0,510	-152,976	-90,000	-327,272
200	0	20,000	-87,144	-0,237	-166,655	-90,000	-343,799

Результаты вычислений отобразим на графике логарифмических характеристик разомкнутой системы (рисунок 5,6).

Примечание

* - численное значение на графике указывает наклон асимптоты ЛАЧХ, имеющий размерность дБ/дек (децибел на декаду)

Рисунок 5 – ЛАЧХ разомкнутой системы

Рисунок 6 – ЛФЧХ разомкнутой системы

Так как разомкнутая система находится на границе устойчивости, то для ее устойчивости в замкнутом состоянии, необходимо и достаточно, чтобы число переходов ЛФЧХ через линию –180° при положительных значениях ЛАЧХ было четным (в частном случае равным нулю).

В данном случае ЛФЧХ не совершает отрицательного перехода при положительных значениях ЛАЧХ. Можно сделать вывод о том, что замкнутая система будет устойчивой.

Оценим запас устойчивости системы по амплитуде и по фазе. Для этого найдем частоту среза. При ω= 8.65 Гц по формуле (1.23) значение L(8.65)=0 дБ, отсюда находим значение фазы при данной частоте среза . Также вычисляется критическая частота, при которой. При этой частоте ω_кр=12.73 Гц находится значение L(12.73)= -5.35 дБ. Делается вывод, что запас по фазе составляет 23.5°, а запас по амплитуде составляет 5.35 дБ. Очевидно, что система имеет запасы устойчивости и является устойчивой в замкнутом состоянии, но выполним синтез исходной системы для приведения ее в более устойчивое состояние и с выполнением требований, предъявляемых к ней по заданным показателям качества, что выполнено в разделе 2 курсовой работы.