2.6. Поверхностный эффект в цилиндрическом проводе
По цилиндрическому проводу радиусом а протекает синусоидальный ток I частотой ω. Требуется вывести формулы для определения плотности тока δ и напряженности H в любой точке сечения провода. Полагаем обратный провод настолько далеко удаленным от прямого провода, что влияние обратного провода на поле в прямом проводе можно не учитывать.
Решение проведем
в цилиндрической системе координат
(рис. 2.7). Плотность тока
направлена по осиz,
поэтому
.
Воспользуемся
уравнениями (2.1) и (2.2), предварительно
умножив последнее на γ
получим:
(2.30)
(2.31)
или
т.е.
В установившемся
режиме
Поэтому
Раскроем
в цилиндрической системе координат и
учтем, чтоδ
от α
и от z
не зависят. Получим
или
Обозначим
(2.32)
Тогда
или
(2.33)
Рисунок 2.7
Уравнение (2.33) является частным случаем уравнения Бесселя при р = 0. Роль х играет qr, роль γ играет δ.
Как известно из курса математики, решение уравнения (2.33) можно записать следующим образом:
(2.34)
где А и В - постоянные интегрирования; J0(qr) - функция Бесселя нулевого порядка первого рода; N0 (qr) - функция Бесселя нулевого порядка второго рода.
Функция N0 (qr) обладает той особенностью, что при qr = 0 (т. е. на оси провода при z = 0) она обращается в бесконечность. Но из физических соображений ясно, что плотность тока должна быть всюду конечна, в том числе и на оси провода. Поэтому слагаемое BN0(qr) в решении отбрасываем (принимаем В = 0). Следовательно,
(2.35)
В соответствии с уравнением (2.31) и Формулами (2.32):
т.е.
(2.36)
где J1(qr) - функция Бесселя первого рода первого порядка.
Определим постоянную интегрирования А. С этой целью по закону полного тока найдем H на поверхности провода (при r = а) и приравняем его значению H. которое получается из формулы (2.36):
(2.37)
Подставим найденное значение А в формулы (2.35) и (2.36). Получим:
(2.38)
(2.39)
С помощью формул (2.38) и (2.39) можно определить комплекс плотности тока б и комплекс напряженности поля Н в любой точке сечения провода.
Радиус г может принимать значения от 0 до а. Для точки на оси провода r = 0; для точек на поверхности r = а. Так как J0 (0) = 1 (см. табл. 2.1), то плотность тока на оси провода
(2.40)
Сопоставление (2.40) с (2.38) дает
(2.41)
Из формулы (2.41) следует, что плотность тока на поверхности провода
(2.41/)
Из предыдущего известно, что произведение qr есть комплексное число:
(2.42)
Бесселевы функции J0 (qr) и Jx (qr) от комплексного аргумента qr тоже являются комплексами и могут быть представлены в показательной форме:
(2.43)
(2.44)
где b0
- модуль, а
βо
- аргумент функции J0(qr);
b1
- модуль, β1
- аргумент функции J1(qr);
b0,
b1,
βо
, β1,
(βо
и β1
в градусах) определяют по значению
с помощью табл.2.1.
При составлении
этой таблицы наличие множителя
в составе аргументаqr
уже учтено.
Пример 1. По стальному проводу [γ = 107 (ом м)-1; μ = 103] диаметром 6,04 мм течет синусоидальный ток I = 100 A частотой 50 Гц. Определить плотность тока на поверхности и на оси провода.
Решение.
По табл. 2.1 находим
По формуле (2.40) определяем плотность на оси провода:
По формуле (2.42) плотность тока на поверхности провода:
Таблица 2.1
Таблица модулей и аргументов функций J0 (qr) и j (qr)
