2.5. Магнитный поверхностный эффект
В качестве второго примера распространения плоских электромагнитных волн в проводящей среде рассмотрим поле в стальном листе при прохождении вдоль листа переменного магнитного потока Фm. Лист (рис. 2.5) имеет толщину 2а, высоту h (h >> 2а) и весьма большую протяженность в направлении, перпендикулярном рисунку. Средняя плотность магнитного потока по сечению листа
Задача состоит в определении законов изменения H и E по сечению листа. В силу симметрии напряженность магнитного поля на левой поверхности листа та же, что и на правой поверхности листа. Обозначим ее через Hа и будем полагать известной (в дальнейшем выразим ее через Вср).
Рисунок 2.5
Так как толщина листа 2а много меньше высоты листа h, то искажающим влиянием краев листа на поле можно в первом приближении пренебречь и считать, что в лист с двух сторон проникает плоская электромагнитная волна.
Расположим оси
координат декартовой системы в
соответствии с рис. 2.5. Примем, как и
прежде,
.
Общее решение
для Н таково:
Из граничных условий найдем постоянные интегрирования. При z = -а, т. е. для точек, находящихся на левой стороне листа,
(2.20)
при z = +a
(2.21)
Совместное решение (2.20) и (2.21) относительно С1 и С2 дает
Следовательно в произвольной точке
(2.22)
Напряженность электрического поля
где
(2.23)
При z = -а напряженность Е направлена вверх (вдоль оси -х)\ при z = -а - вниз (вдоль оси +х, см. рис. 2.5). Вектор Пойнтинга направлен к средней плоскости листа (внутрь листа).
Как известно, ток, возникающий при прохождении по листу переменного магнитного потока, принято называть вихревым.
Вектор плотности
вихревого тока
в любой точке
листа колли-неарен
с вектором Е
в
этой же точке. Магнитная индукция в
произвольной
точке
(2.24)
Среднее значение магнитной индукции в листе
(2.25)
Если
считать Bср
известной и равной
,то
из (2.25) можно найтинапряженность
поля на поверхности листа:
(2.26)
Заметим, что аргумент pa = ka + jka является комплексом и th pa есть гиперболический тангенс от комплексного аргумента; он также является комплексом:
(2.27)
Отношение среднего значения магнитной индукции по сечению листа Bср к напряженности поля на поверхности листа На называют комплексной магнитной проницаемостью:
Она зависит от величины μ, частоты ω и толщины листа. При больших значениях аргумента 2ka sh2ka ≈ ch2ka, значения этих функций намного больше
и комплексная магнитная проницаемость
Так, например при толщине листа 2а = 0,015 см, μ = 20000:
γ = 1,8 106 (ом м)-1 и f = 50000 Гц;
2
Следовательно,
Напряженность
поля в средней плоскости листа (при z
=
0)
.
Отношение напряженности поля на краю
листа (при z
= а) к
напряженности поля в средней плоскости
листа
(2.28)
В левой и правой частях (2.28) комплексы. Модуль ch pa показывает, во сколько раз модуль Hа больше модуля Нz=0. Найдем модуль ch pa. С этой целью запишем 2 сопряженных комплекса:
и
Произведение сопряженных комплексов дает квадрат модуля.
Таким образом
(2.29)
Рассмотрим числовой пример. Пусть μ = 100; f = 500 гц, γ = 107 (ом -м)-1. При этом k = 1410 м'1.
Найдем отношение напряженности поля в средней плоскости к на-пряженности поля на поверхности листа при толщине листа:
2а = 1 мм; 2 мм; 4 мм;
2ka = 1,41; 2,82; 5,64;
= 0,91; 0,52; 0,1.
Таким образом, напряженность поля в средней плоскости листа может быть много меньше напряженности поля на краю листа.
Явление неравномерного распределения поля по сечению проводящего тела, вызванное затуханием электромагнитной волны, называют поверхностным эффектом. Если вдоль листа направлен магнитный поток, то поверхностный эффект часто называют магнитным, если вдоль плоской шины направлен переменный ток, то имеющий место при этом поверхностный эффект часто называют электрическим поверхностным эффектом. Природа их одна и та же. И дополнительное прилагательное («магнитный» или «электрический») свидетельствует лишь о том, что направлено вдоль листа (шины), поток или ток.
На рис. 2.6 построены две кривые. Кривая рис. 2.6а характеризует изменение модуля напряженности магнитного поля в функции от z. В средней плоскости листа Н до нуля не снижается, так как ch0 ≠ 0. Кривая H строится по уравнению (2.22). Кривая рис. 2.6б характеризует изменение модуля напряженности электрического поля в функции от z. Эта кривая строится по (2.23); sh pz = 0 и потому кривая проходит через нуль при z = 0. Кривая плотности вихревых токов δ == γE качественно повторяет кривую E от z (разница только в масштабе).
Рисунок 2.6