Глава 1 основные уравнения переменного электромагнитного поля

1. Уравнение непрерывности.

Линии полного тока являются непрерывными. Физически это означает, что на границе проводящей среды и диэлектрика ток проводимости переходит в ток смещения.

Можно математически сформулировать принцип непрерывности (замкнутости) линий полного тока. С этой целью от обеих частей уравнения (1.1) возьмем дивергенцию. Из предыдущего известно, что дивергенция от потока тождественно равна нулю. Поэтому

(1.3)

Уравнение (1.3) можно записать в другой форме. Действительно, из него следует, что

Но . Поэтому

(1.3а)

Уравнение непрерывности (1.3а) называют также законом сохранения заряда. Этот закон означает, что изменение во времени свободного заряда, находящегося в некотором малом объеме, может происходить только за счет перемещения заряда через поверхность, окружающую этот заряд.

2. Второе уравнение Максвелла.

Второе уравнение Максвелла записывают следующим образом:

(1.4)

Физический смысл его состоит в том, что всякое изменение магнитного поля во времени в какой-либо точке поля возбуждает вихрь или ротор электрического поля в той же точке т.е. вызывает вихревое электрическое поле.

Второе уравнение Максвелла представляет собой дифференциальную форму закона электромагнитной индукции.

Чтобы убедиться в этом проведем следующие рассуждения. Мысленно возьмем некоторый замкнутый контур, расположенный а переменном электромагнитном поле Переменный магнитный лоток, пронизывающий контур, наведет в нем ЭДС . Но, поэтому , причем площадка опирается на контур l.

На основании теоремы Стокса , поэтому

(1.5)

Равенство (1.5) должно выполняться при любых площадях S, что возможно только в том случае, когда равны подынтегральные функции обоих интегралов Следовательно

Знак «минус» в правой части второго уравнения Максвелла (как и в формуле объясняется тем, что в основу применения этой формулы положено правило правого винта. Если завинчивать правый винт так, что положительное направление вектора магнитной индукции в некоторой точке пространства при возрастании индукции в этой точке совпадает с направлением движения острия винта, то положительное направление для вектора напряженности электрического поля при составлении циркуляции вектора вдоль бесконечно малого контура, окружающего эту точку н лежащего в плос-кости, перпендикулярной вектору , совпадает с направлением вращения головки винта.

Знак «минус» в правой части (1.4) поставлен дня того, чтобы привести в соответствие действительное направление для при оговоренных ранее условиях с направлением, принятым для за положительное.

Как в первом, так и во втором уравнениях Максвелла участвуют частные (не полные) производные во времени. Объясняется это тем, что уравнения Максвелла записаны для таких тел и контуров, которые неподвижны по отношению к выбранной системе координат. (Вопросы электродинамики движущихся сред кратко рассмотрены в п. 1.11.)

В переменном электромагнитном поле кроме силовых линий электрического поля, «начинающихся» и «оканчивающихся» на электрических зарядах (как в электростатическом поле), могут быть и замкнутые на себя силовые линии электрического поля, охватывающие замкнутые на себя силовые линии магнитного поля.