3.Аналитическая геометрия. Уравнения плоскости

Пусть задан вектор , перпендикулярный к плоскости(вектор нормали) и точка- произвольная фиксированная точка плоскости. Возьмем на плоскостипроизвольную нефиксированную точку- (текущая точка) (рис.8).

Рис.8

Вектор , лежащий в плоскости, перпендикулярен вектору нормали, значит их скалярное произведение, следовательно

Полученное уравнение – уравнение плоскости, проходящей через точку _,перпендикулярно вектору .

Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через точкуи перпендикулярно вектору, если,(рис.9).

_{Решение.} Пусть - текущая точка искомой плоскости. Найдем координаты векторов

.

Вектор принадлежит плоскостии перпендикулярен вектору, значит их скалярное произведение

- уравнение плоскости .

Рис.9

_{Рассмотрим плоскость, проходящую через три точки, не лежащие} ^{на одной прямой:} _- (рис.10). Точка- текущая точка плоскости.

Рис.10

Три вектора:

,

лежат в одной плоскости, значит компланарны, и их смешанное произведение равно нулю:

Запишем смешанное произведение в координатной форме, получим:

- уравнение плоскости, проходящей

через три точки.

Пример. Найти уравнение плоскости, проходящей через три точки

(рис.11).

Рис.11

Решение. Пусть точка - текущая точка плоскости. Найдем координаты трех компланарных векторов:,,.

Смешанное произведение векторов равно нулю:

- уравнение плоскости .

Пусть плоскость задана общим уравнением.

Расстояние от точки до плоскости (рис12) вычисляют по формуле .

Рис.12

Пример. Найти расстояние от точки до плоскости.

Решение. Воспользуемся формулой расстояния от точки до плоскости, получим:

.

Угол между плоскостями равен углу между их векторами нормалей (рис.13).

Пусть даны две плоскости:

плоскостьс нормалью

плоскость с нормалью

Рис.13

Косинус угла между плоскостями вычисляется по формуле:

Пример. Найти угол между плоскостями

;

.

Решение. Векторы нормалей имеют координаты:

Отсюда,

Уравнения прямой в пространстве

Рассмотрим в пространстве прямую a, проходящую через точку параллельно вектору, который называется направляющим вектором прямойа (рис.14).

Рис.14

Пусть точка - текущая точка прямой. Векторлежит на прямой и коллинеарен вектору. Из условия коллинеарности двух векторов, имеем:

Эти уравнения - канонические уравнения прямой в пространстве.

Если в канонических уравнениях ввести параметр t: , получимпараметрические уравнения прямой:

Прямую можно задать как линию пересечения двух плоскостей (рис.15):

Рис.15

- общие уравнения прямой в пространстве.

Уравнения прямой, проходящей через две точки и:

Угол между прямыми равен острому углу между их направляющими векторами (рис.16) и вычисляется по формуле:

Рис.16

Пример. Прямая задана общими уравнениями

а) Написать для этой прямой канонические и параметрические уравнения;

б) Найти угол между прямой и прямой,заданной уравнениями

Решение.

а) Выберем одну из точек, через которую пройдет указанная прямая, заданная пересечением плоскостей. Исходная система имеет бесчисленное множество решений, одно из которых получим придавая одной из переменных конкретное значение. Пусть , тогда значения других неизвестных находим из системы

Решением этой системы является пара чисел .

В результате получим точку , через которую проходит искомая прямая. В качестве направляющего вектора прямой можно взять вектор, где,- нормальные векторы плоскостей, линией пересечения которых является прямая. Таким образом,

.

Запишем канонические уравнения прямой :

Получим из канонических параметрические уравнения прямой:

б) Направляющий вектор прямой , направляющий вектор прямойУгол между прямымииравен острому углу между их направляющими векторами:

Угол между прямой и плоскостью

Пусть заданы прямая a и плоскость (рис.17):

Прямая c направляющим вектором

Плоскость с вектором нормали

Рис.17

Угол между прямой а и плоскостью вычисляется по формуле:

Чтобы найти точку пересечения прямой и плоскости, нужно параметрические уравнения прямой подставить в уравнение плоскостии найти параметр, соответствующий точке пересечения.

Пример. Найти а) угол между прямой и плоскостью;

б) точку пересечения прямой и плоскости.

.

Решение. - нормаль к плоскости; - направляющий вектор прямой.

а)

Отсюда,

б) Подставим параметрические уравнения прямой в уравнение плоскости

, - параметр точки пересечения прямой и плоскости.

Подставим значение параметра в параметрические уравнения, получим: Координаты точки пересечения

Уравнение прямой на плоскости

Каноническое уравнение прямой на плоскости: , где- направляющий вектор прямой.

Общее уравнение прямой на плоскости: ,

где - вектор нормали прямой.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом (рис.18), где- угловой коэффициент прямой; угол– угол между прямой и осьюОХ;

b – отрезок, отсекаемый прямой на оси OY.

Рис.18

Уравнение прямой, проходящей через две точки и:

Пример Даны точки А(2;5), В(-3;1), С(5;2).

Найти:а) уравнение медианыAD;

б) уравнение высоты AE;

в) угол между медианой AD и высотой AE;

г) уравнение прямой, проходящей через точку С, параллельно прямой АВ (рис19).

Рис.19

Решение.

а) Точка D - середина отрезка ВС, найдем ее координаты:

Прямая AD проходит через две точки. Её уравнение имеет вид: ;;

- уравнение прямой AD.

_б) Высота перпендикулярна ВС. Пусть точка Е имеет координаты Тогда векторы

_{следовательно, их скалярное произведение} - уравнение высотыАЕ.

в) Угол между медианой AD и высотой АЕ – это угол между их векторами нормалей

Отсюда,

_{г) Прямая} СК параллельна прямой АВ. Пусть точка K имеет координаты Тогда векторы и коллинеарны.

Отсюда, ;;

- уравнение прямой СК, параллельной АВ.