2. Элементы векторной алгебры. Векторы и линейные операции над ними

В геометрии вектором называют направленный отрезок с начальнойА и конечной В точками, который можно перемещать параллельно самому себе. Длиной (или модулем) вектораназывается число, равное длине отрезкаАВ, изображающего вектор.

Векторы, параллельные одной прямой, называются коллинеарными (рис.1).

Рис.1

Векторы, параллельные одной плоскости, называются компланарными (рис.2).

Рис.2

Если вектор изображается направленным отрезком, то вектор, изображаемый направленным отрезком, называется вектором, противоположным векторуи обозначается -(рис.3).

Рис.3

Если в прямоугольной системе координат точки А и В имеют координаты и, то координаты векторанаходятся как разности соответствующих координат концаВ и начала А этого вектора, т.е.

,

а модуль его определяется как расстояние между двумя точками:

.

Для векторов вводятся следующие линейные операции: сложения и умножения на число. Если векторы заданы своими координатами и, то:

1) при сложении двух векторов их соответствующие координаты складываются: ;

2) при умножении вектора на числоего координаты умножаются на это число:.

Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Скалярным произведением двух ненулевых векторов иназывается число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:, где- угол между векторамии(рис.4).

_Рис.4

Пусть заданы два вектора в координатной формеи

Скалярное произведение двух ненулевых векторов в координатной форме равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов: .

Косинус угла между векторами вычисляется по формуле: .

Условием перпендикулярности ненулевых векторов и является равенство нулю их скалярного произведения:

.

Векторным произведением двух векторов иназывается вектор, который:

1) имеет модуль, численно равный площади параллелограмма, построенного на векторах и:;

2) перпендикулярен к плоскости этого параллелограмма;

3) направлен в такую сторону, с которой кратчайший поворот от крассматривается совершающимся против часовой стрелки (такое расположение векторов,иназывается правой тройкой векторов) (рис.5).

Рис.5

Векторное произведение ненулевых векторов вычисляется через координаты данных векторови

следующим образом:

Равенство нулю векторного произведения двух ненулевых векторов является условием их коллинеарности, т.е. .

Смешанное произведение трех векторов ,и, которое обозначаетсяили, есть скаляр, абсолютная величина которого равна объему параллелепипеда, построенного на векторах,и, как на ребрах.

Смешанное произведение трех векторов вычисляется в координатной форме по формуле:

.

Равенство нулю смешанного произведения трех ненулевых векторов является условием их компланарности: .

Задача. Определить внутренние углы итреугольникаc вершинами в точках

Решение. Внутренний угол- это угол между векторамии, который вычисляется через скалярное произведение векторов по формуле:

Координаты векторов: .

Отсюда,

Аналогично, находя предварительно , получим

Отсюда

Задача. Вычислить площадь треугольника с вершинами в точках и высоту (рис.6).

Решение.

Рис.6

Найдем координаты векторов Площадь треугольника вычисляется через векторное произведение векторов по формуле:.

Векторное произведение

Тогда .

С другой стороны , отсюда высота.

Так как ,

то высота .

Задача. Вычислить объем пирамиды с вершинами в точках и высоту, опущенную из точкина основание (рис.7).

Решение.

Рис.7

Найдем координаты векторов :.

Объем пирамиды вычисляется через смешанное произведение векторов по формуле: .

Смешанное произведение векторов

.

Следовательно,

_{С другой стороны} . Откуда высота пирамиды, где площадь треугольника

_{Векторное произведение}

Тогда,

Следовательно, высота пирамиды =