Отсюда |
|
m ≤ |
1 |
b∫ f (x)dx ≤ M . |
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
(b −a)a |
||
Обозначив µ = |
|
b∫ f (x)dx , имеем m ≤ µ ≤ M . |
|||
|
|
||||
|
|
(b −a)a |
|||
Так как |
f (x) непрерывна на отрезке [a;b], то она принимает все про- |
||||
межуточные значения, заключенные между m и M.
Следовательно, существует значение ξ [a;b], для которого f (ξ)= µ , т.е.
f (ξ)= |
|
1 |
b∫ f (x)dx , |
|||
|
|
|||||
отсюда |
(b −a)a |
|||||
|
|
|
|
|
||
b∫ f (x)xdx = (b −a)f (ξ). |
||||||
a |
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
1 |
||
Замечание. Значение функции |
f (ξ ) = |
∫ f ( x )dx называется сред- |
||||
b − a |
||||||
|
|
|
|
|
a |
|
ним интегральным значением |
|
f ( x) на интервале (a;b). |
||||
Геометрический смысл определенного интеграла: определенный инте-
грал от функции f ( x ) по отрезку [a;b] равен площади криволинейной трапеции, ограниченной линиями y = f ( x ), y = 0, x = a, x = b , т.е.
b
S = ∫ f ( x)dx.
a
Механический смысл определенного интеграла: определенный интеграл от скорости v(t) по отрезку времени [a; b] равен пути, пройденному точкой от момента t = a до момента t = b :
l = b∫v(t)dt .
a
2.3.НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЯ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ФУНКЦИИ
Теорема 1. (необходимое условие интегрируемости).
Если функция f (x) интегрируема на некотором отрезке [a; b], то она
ограничена на этом отрезке.
Теорема 2. (достаточное условие интегрируемости).
Если функция f (x) непрерывна на некотором отрезке [a; b], то она
интегрируема на этом отрезке.
39
2.4.ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА. ФОРМУЛА НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА
x
Теорема 1. Если f (x) непрерывная функция и Ф(x)= ∫ f (t)dt , то
имеет место равенство Ф′(x)= f (x).
Доказательство. Найдем Ф′(x). Составим
a
|
x+∆x |
x |
x+∆x |
|
∆Ф(x)=Ф(x + ∆x)−Ф(x)= |
∫ f (t )dt − ∫ f (t)dt = |
∫ f (t)dt = |
||
= (x + ∆x − x)f (ξ)= ∆xf (ξ), |
a |
a |
x |
|
где ξ [x; x + ∆x](см. св-ва 3.10), тогда |
|
|
||
∆Ф(x) |
= f (ξ) и |
′ |
|
|
∆x |
Ф (x)= lim f (ξ), |
|
||
|
|
∆x→0 |
|
|
и так как x + ∆x → x при ∆x → 0, то и |
ξ → x , следовательно, |
|||
Ф′(x)= f (x).
Иными словами, производная от определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна значению подынтегральной функции, подсчитанной при верхнем пределе.
Замечание. Из сформулированной выше теоремы следует, что всякая непрерывная функция имеет первообразную. Действительно, если функция
f (x) непрерывна на отрезке [a; x], то в этом случае определенный инте-
грал ∫x f (t)dt существует, т.е. существует функция
a
x
Ф(x)= ∫ f (t)dt .
a
Так как Ф′(x)= f (x), то функция Ф(x) является первообразной от функции f (x).
Теорема 2. (формула Ньютона-Лейбница). Если F (x) есть какая-либо первообразная от непрерывной функции f (x), то справедлива формула b∫ f (x)dx = F (b)−F (a).
a
40
Доказательство. Пусть F (x) |
- некоторая первообразная от функции |
f (x). По теореме 1 функция ∫x |
f (t)dt есть также первообразная от f (x). |
a |
|
Но две любые первообразные от данной функции отличаются на постоян-
ное слагаемое C* . Следовательно, можно записать
∫x f (t)dt = F (x)+C* .
a
Для определения постоянного C* положим в этом равенстве x = a , тогда a∫ f (t )= F (a)+ C* или 0 = F (a)+ C* ,
a
откуда C* = −F (a). Следовательно,
∫x f (t )dt = F (x)−F (a).
a
Полагая, x = b , получим формулу Ньютона-Лейбница
b∫ f (t)dx = F (b)−F (a)
a
или, заменив переменную интегрирования t на х: b∫ f (x)dx = F (b)−F (a).
a
Выражение F (x)ba = F (b)− F (a) называется двойной подстановкой.
С учетом последнего, формулу Ньютона-Лейбница можно записать
b
∫ f (x)dx = F (x)ba =F (b)−F (a).
a
Пример 1.
2 |
|
|
|
1 x2 |
|
2 |
1 |
(4 −1) |
|
3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
∫xdx = |
|
|
= |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
e |
2x |
dx |
= |
1 1 |
e |
2x |
d(2x)= |
1 |
e |
2x |
|
= |
1 |
|
2 |
−e |
0 |
|
= |
1 |
2 |
|
||||
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
2 |
∫ |
|
2 |
|
|
|
2 |
e |
|
|
|
e |
|
−1 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
. |
|||||
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
41 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|