= 2 |
x2 |
− 4 − 2arccos |
2 |
+ C. |
|
2 |
|
x |
|
Глава 2. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
2.1. ЗАДАЧА, ПРИВОДЯЩАЯ К ПОНЯТИЮ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
Пусть на плоскости введена прямоугольная декартова система координат XOY и на отрезке [a;b], где a < b , определена непрерывная неотрицательная функция f (x), т.е. y = f (x).
Определение. Фигура ABCD, ограниченная снизу отрезком [a;b] оси
ОХ, сверху – графиком функции |
y = f (x), а слева и справа – отрезками |
прямых x = a и x = b , называется криволинейной трапецией (pис.2) |
|
Y |
y=f(x) |
O |
|
|
|
X |
|
|
|||
a ξ1 x1 |
xi-1ξi xi xn-1 b |
|||
Рис.2
Необходимо вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком кривой y = f (x), прямыми x = a и x = b и осью ОХ.
1. Разобьем отрезок [a;b] на n частей точками:
a = x0 < x1 < ... < xn = b .
Обозначим i-ый отрезок [xi −1 ; xi ] и длину его ∆xi = xi − xi −1 , i =1,2...,n.
2.На каждом из полученных частичных отрезков [xi −1 ; xi ] выберем произвольную точку ξi [xi −1 ; xi ]и найдем значение функции в этой точке f (ξi ).
3.Произведение f (ξi )∆xi определяет площадь прямоугольника, осно-
ванием которого служит отрезок [xi −1 ; xi ], а высотой f (ξi ). 4. Составим сумму
Sn = f (ξ1 )∆x1 + f (ξ |
n |
)∆xi . |
2 )∆x2 +... + f (ξn )∆xn = ∑ f (ξi |
||
|
i =1 |
|
35
5.Пусть max ∆xi → 0 , т.е. число частичных отрезков стремится к ∞. Если при этом величина Sn стремится к определенному пределу S , независящему от способа разбиения отрезка [a;b] на n частей и выбора точек ξi внутри каждого полученного отрезка, то величину S
будем называть площадью криволинейной трапеции. Таким образом,
n
S = lim ∑ f (ξi )∆xi .
max ∆xi →0 i =1
2.2.ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ, ЕГО СВОЙСТВА
Определение. Число А называется определенным интегралом от функции f (x) на отрезке [a;b], если при любых разбиениях отрезки
[a;b] таких, что max ∆xi → 0 , и при любом выборе точек ξi инте-
n
гральная сумма ∑f (ξi )∆xi стремится к одному и тому же пределу
i=1
А.
Этот факт записывают следующим образом:
|
n |
b |
lim |
∑f (ξi )∆xi = ∫ f (x)dx . |
|
max ∆xi →0 i=1 |
a |
|
Функция f (x) называется подынтегральной функцией, [a;b] отрезком интегрирования, a и b – нижним и верхним пределами интегрирования соответственно.
Свойства определенного интеграла
1. Если f (x)=1, то
b |
b |
∫ f (x)dx = ∫1dx = b −a . |
|
a |
a |
2. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:
b∫kf (x)dx = kb∫ f (x)dx.
Действительно, |
|
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
b |
|
|
n |
|
|
n |
b |
∫kf (x)dx = |
lim |
∑kf (ξi )∆xi |
= k lim |
∑ f (ξi )∆xi |
= k∫ f (x)dx |
||
a |
max ∆xi |
→0 i=1 |
max ∆xi |
→0 i=1 |
a |
||
3. Определенный интеграл от алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от слагаемых:
36
b∫(f1 (x)+ f2 (x))dx = b∫ f1 (x)dx + b∫ f2 (x)dx .
a |
a |
a |
Действительно, |
|
|
b (f |
(x)+ f |
|
(x))dx = lim |
n (f |
|
(ξ |
|
|
)+ f |
|
(ξ |
|
))∆x |
|
= |
|
|
|
||||||||||||
∫ |
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
max ∆xi →0 |
∑ |
1 |
|
|
i |
|
|
|
2 |
|
i |
|
|
i |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
lim |
n |
f |
(ξ |
|
)∆x |
|
+ lim |
n |
f |
|
|
(ξ |
|
)∆x |
|
|
= b |
f |
(x)dx + b |
f |
|
(x)dx. |
|||||||
|
max |
∆xi →0 |
∑ |
|
|
1 |
|
i |
|
i |
max ∆xi →0 ∑ |
|
2 |
|
|
i |
|
i |
|
|
∫ |
1 |
|
|
∫ |
|
2 |
|
||
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
i =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
a |
|
|
|
4. a∫ f (x)dx = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. b∫ f (x)dx = −a∫ f (x)dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.Пусть |
f (x) интегрируема на отрезке [a; b]. Если точка c [a;b], то |
|||||||||||||||||||||||||||||
b∫ f (x)dx =c∫ f (x)dx +b∫ f (x)dx .
a |
|
a |
c |
|
Доказательство. При разбиении отрезка [a; b] на части включим точку с |
||||
в число точек деления. Если |
c = xk , то |
|
|
|
n |
|
k |
|
n |
∑ f (ξi )∆xi |
=∑ f (ξi )∆xi + |
∑ f (ξi )∆xi . |
||
i=1 |
|
i=1 |
|
i=k+1 |
Каждая из написанных сумм является интегральной суммой функции для отрезков [a; c] и [c; b].
Следовательно,
b∫ f (x)dx =∫c f (x)dx +b∫ f (x)dx .
|
|
a |
a |
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание. Точка с может быть внешней по |
отношению к отрезку |
||||||||||
|
[a; b]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.Если f (x)≥ 0 для любого x [a;b], то |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
b∫ f (x)dx ≥ 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
f (x) |
|
|
ϕ(x) удовле- |
|||
|
8.Если на отрезке [a; b], где a < b , функции |
и |
||||||||||
творяют условию |
f (x)≤ϕ(x), то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
b∫ f (x)dx ≤b∫ϕ(x)dx . |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство. Рассмотрим разность |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
b |
ϕ(x)dx − b f (x)dx = b |
(ϕ(x)− f (x))dx = |
lim |
n (ϕ(ξ |
|
)− f (ξ |
|
))∆x |
. |
|||
∫ |
∫ |
∫ |
|
|
max ∆xi →0 |
∑ |
|
i |
|
i |
i |
|
a |
a |
a |
|
|
|
i =1 |
|
|
|
|
|
|
37
Здесь ϕ(ξi )− f (ξi )≥ 0 по условию теоремы, следовательно, каждое сла-
гаемое интегральной суммы неотрицательно, неотрицательна вся интегральная сумма и неотрицателен ее предел, т.е.
∫(ϕ(x)− f (x))dx ≥ 0
или
b∫ϕ(x)dx −b∫ f (x)dx ≥ 0.
a |
a |
Таким образом,
b∫ f (x)dx ≤ b∫ϕ(x)dx .
a |
a |
9. (Оценка определенного интеграла).
Если m и M – наименьшее и наибольшее значения функции f (x) на отрезке [a; b] и
(b −a)m ≤ b∫ f (x)dx ≤ (b −a)M .
a
Доказательство. По условию m ≤ f (x)≤ M . На основании свойства 8 имеем
b |
b |
b |
∫mdx ≤ ∫ f (x)dx ≤ ∫Mdx . |
||
a |
a |
a |
Учитывая, что |
|
|
b |
= m(b −a), |
b |
∫mdx |
∫Mdx = M (b −a), |
|
a |
|
a |
получаем |
|
|
m(b −a)≤ b∫ f (x)dx ≤ M (b −a).
a
10. (Теорема о среднем). Если функция f ( x) непрерывна на отрезке[a; b], то на этом отрезке найдется такая точка x =ξ , что справедливо следующее равенство:
∫b |
f (x)dx = f (ξ)(b −a). |
a |
|
Доказательство. Пусть для определенности a < b . Если m и M наименьшее и наибольшее значения функции f (x) на [a; b], то
m(b −a)≤ b∫ f (x)dx ≤ M (b −a).
a
38