- •Оглавление
- •ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
- •Глава1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
- •1.3. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
- •1.3.1. Непосредственное интегрирование
- •1.3.2. Интегрирование подстановкой ( замена переменной )
- •1.3.3. Интегрирование по частям
- •1.4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
- •1.4.1. Разложение рациональной дроби на простейшие Определение. Отношение двух алгебраических многочленов
- •1.5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
- •1.6. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
- •Глава 2. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
- •2.1. ЗАДАЧА, ПРИВОДЯЩАЯ К ПОНЯТИЮ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
- •2.2.ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ, ЕГО СВОЙСТВА
- •2.3.НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЯ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ФУНКЦИИ
- •2.4.ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА. ФОРМУЛА НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА
- •2.5. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
- •2.5.1. Замена переменной в определенном интеграле
- •2.5.2. Интегрирование по частям
- •2.6. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
- •2.6.1. Несобственные интегралы 1 рода
- •2.6.2. Несобственные интегралы 2 рода
- •2.7.ОБЩИЙ ПРИНЦИП ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
- •2.8.ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ
- •2.9. ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЛИНЫ ДУГИ ПЛОСКОЙ КРИВОЙ
- •2.10. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМА ТЕЛА
- •2.11. ПРИБЛИЖЕНОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
- •“Интегральное исчисление функции одной переменной”
- •Библиографический список
“Интегральное исчисление функции одной переменной”
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.Найти неопределенные интегралы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1.1. ∫sin(3x +1)dx |
1.2. ∫ |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
+ |
4x |
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1.3. ∫ |
|
tg2 3x |
|
dx |
1.4. ∫ |
|
2x2 +3 |
dx |
|
|||||||||||
cos2 3x |
|
|
|
x +1 |
|
|
||||||||||||||
1.5. ∫3 + |
dx |
|
|
|
|
1.6. ∫x ln(x +1)dx |
||||||||||||||
x −3 |
||||||||||||||||||||
1.7. ∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
1.8. ∫ |
|
|
|
x + 4 |
dx |
|||||
|
x |
2 |
−5x + 6 |
|
2x |
2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
−6x −8 |
||||||||||||||
1.9. ∫ |
|
|
|
|
3x +13 |
1.10. ∫ |
|
2x −13 |
|
|||||||||||
(x −1) |
(x 2 + 2x +5)dx |
3x 2 −3x −16 dx |
||||||||||||||||||
1.11. ∫cos 3x sin 2x dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2.Исследовать несобственные интегралы на сходимость. |
|
|||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
+∞ |
|
dx |
|
|
|
|
|
||||
2.1. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
2.2. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
( x −3) |
2 |
|
|
2x +3 |
|
|
|||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3.Вычислить приближенное значение определенного интеграла
8
∫ x3 +16dx с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегриро-
−2
вания на 10 частей. Все вычисления производить с округлением до третьего десятичного знака.
4.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = x , y = 6 − x, x = 0 .
x = 5(t −sin t),
5.Вычислить длину дуги кривой 0 ≤ t ≤π .
y = 5(1 −cos t),
6.Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси OX
фигуры, ограниченной графиками функций : y = −x 2 +5x −6, y = 0 .
61
“Интегральное исчисление функции одной переменной”
|
|
|
|
|
|
Вариант 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
1.Найти неопределенные интегралы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1.1. ∫e3x+2dx |
1.2. ∫ |
dx |
|
|
|
|
|||||||||
4 + 9x 2 |
|
|
|
||||||||||||
1.3. ∫ |
arcsin 3x |
|
|
x |
2 |
+ 2x |
+ 5 |
||||||||
1 − 9x 2 dx |
1.4. ∫ |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
dx |
||||||||||
|
|
x − 2 |
|
|
|||||||||||
1.5. ∫ |
2xdx |
|
|
1.6. ∫(x 2 − 4)sin5xdx |
|||||||||||
x − 2 |
|||||||||||||||
1.7. ∫ |
|
|
|
dx |
|
1.8. ∫ |
|
|
x + 5 |
|
dx |
||||
|
3x |
2 |
− 8x − 3 |
|
x |
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
+ x − 2 |
|||||||||
1.9. ∫ |
|
|
|
12 − 6x |
1.10. ∫ |
|
x − 3 |
||||||||
|
(x +1) (x 2 − 4x +13)dx |
|
2x 2 − 4x −1 dx |
1.11. ∫cos2 2x sin3 2xdx
2.Исследовать несобственные интегралы на сходимость.
3 |
dx |
+∞ |
dx |
|
2.1. ∫ |
2.2. ∫ |
|
||
x − 2 |
1 −4x |
2 |
||
0 |
|
−∞ |
|
3.Вычислить приближенное значение определенного интеграла
12
∫ x3 +9dx с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирова-
2
ния на 10 частей. Все вычисления производить с округлением до третьего десятичного знака.
4.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y2 = 9x, y = x + 2 .
|
|
|
3 |
t |
|
π |
|
5. |
x =10 cos |
|
0 ≤ t ≤ |
. |
|||
Вычислить длину дуги кривой |
3 |
|
2 |
||||
|
|
t, |
|
||||
|
y =10 sin |
|
|
|
|
||
6. |
Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси OY |
||||||
фигуры, ограниченной графиками функций: y = x 2 , |
x = 2, y = 0 . |
62
“Интегральное исчисление функции одной переменной”
|
|
|
|
Вариант 3 |
|
|
|
|
|
|
|
||
1.Найти неопределенные интегралы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1.1. ∫cos(2x −3)dx |
1.2. ∫ |
|
dx |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
4x |
2 |
−9 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1.3. ∫e x2 +2 x (x +1) dx |
1.4. ∫ |
|
|
x3 +3 |
dx |
|
|||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x −1 |
|
||||
1.5. ∫ |
x 2 |
dx |
1.6. ∫( x +1) e2 x dx |
||||||||||
|
3 − x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1.7. ∫ |
|
|
dx |
|
1.8. ∫ |
|
|
5x − 2 |
dx |
||||
− x |
2 |
+5x −6 |
|
2x |
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
−5x + 2 |
|
||||||
|
2x 2 + 2x + 20 |
|
|
|
|
|
2x +1 |
|
|||||
1.9. ∫ |
(x −1) (x 2 − 2x +5)dx |
1.10. ∫ 1 + x −3x 2 dx |
1.11. tg3 2x dx
2.Исследовать несобственные интегралы на сходимость.
0 |
dx |
|
+∞ |
2.1. ∫ |
|
2.2. ∫x e −x2 dx |
|
( x +1) |
2 |
||
−2 |
|
0 |
3.Вычислить приближенное значение определенного интеграла
7
∫ x3 +32 dx с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегри-
−3
рования на 10 частей. Все вычисления производить с округлением до третьего десятичного знака.
4.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линия-
|
x = t |
−sin t, |
0 ≤ t ≤ 2π . |
ми |
−cos t, |
||
|
y =1 |
|
|
5. |
Вычислить длину дуги кривой y = ln x, 3 ≤ x ≤ 15 . |
||
6. |
Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси OY |
фигуры, ограниченной графиками функций : y = 2x − x 2 , y = 4x − 2x 2 .
63
“Интегральное исчисление функции одной переменной”
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.Найти неопределенные интегралы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1.1. ∫ |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
1.2. ∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
− 4x2 |
|
|||||||||
|
|
|
cos |
4x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
3x |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
1.3. ∫ |
|
|
|
|
|
1.4. ∫ |
|
+ 4 |
dx |
|
||||||||||||||||
arccos 2x 1 − 4x 2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
− x |
|
||||||||||||||||||||||
1.5. ∫ |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
1.6. ∫x 2 sin x dx |
|
||||||||||||
x |
|
x +3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1.7. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
1.8. ∫ |
|
|
|
|
4x −1 |
|
dx |
|||||||||
|
|
|
x |
2 |
+ 4x + 25 |
4x |
2 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
− 4x +5 |
|
|||||||||||||||||
1.9. ∫ |
|
|
|
|
|
|
36dx |
1.10. ∫ |
|
|
|
2x −10 |
dx |
|||||||||||||
(x + 2)(x 2 − 2x +10) |
|
|
1 + x − x 2 |
|||||||||||||||||||||||
1.11. |
|
|
|
|
|
∫sin5 3x dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2.Исследовать несобственные интегралы на сходимость. |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
dx |
|
|
||||||||
2.1. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
2.2. ∫ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
x |
|
2 |
+ x +1 |
|
|||||||||||||
−3(x +3) |
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
3.Вычислить приближенное значение определенного интеграла
10
∫ x3 +5 dx с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегриро-
0
вания на 10 частей. Все вычисления производить с округлением до третьего десятичного знака.
4.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
x = t |
−sin t, |
|
−cos t, 0 ≤ y ≤ 2π. |
y =1 |
5. |
Вычислить длину дуги кривой y = ln x, |
3 ≤ x ≤ 15 . |
6. |
Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси OY |
|
фигуры, ограниченной графиками функций : |
|
|
|
y = 3sin x, y = sunx, |
0 ≤ x ≤π . |
64
“Интегральное исчисление функции одной переменной”
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1.Найти неопределенные интегралы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1.1. ∫ |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
1.2. ∫ |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
+9x |
2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
sin |
9x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1.3. ∫ |
ln(3x +1) |
|
|
3x 2 − 2x +5 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dx |
1.4. ∫ |
|
|
|
|
|
|
dx |
|||||||||
|
|
|
3x +1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 − x |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.6. ∫x 2 cos 2xdx |
|||||||||||
1.5. ∫ |
|
|
|
x − 2 |
dx |
|||||||||||||||||||
|
|
x |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1.7. ∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|
1.8. ∫ |
|
|
|
|
x +1 |
|
dx |
|||||||||
|
2x |
2 |
|
|
|
2x |
2 |
|||||||||||||||||
|
|
−3x − 2 |
|
|
+ x +1 |
|
|
|||||||||||||||||
1.9. ∫ |
|
|
|
|
|
|
9x −9 |
1.10. ∫ |
|
3x + 4 |
|
|
||||||||||||
(x +1) |
(x 2 − 2x +5)dx |
|
x 2 + 6x +13 dx |
|||||||||||||||||||||
1.11. ∫ |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5 −3cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2.Исследовать несобственные интегралы на сходимость. |
||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
dx |
|
|
|
|
|
|||||
2.1. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.2. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
(x |
−1) |
2 |
|
|
|
|
|
x ln x |
|
|
|
|
|
||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3.Вычислить приближенное значение определенного интеграла
9
∫ x3 + 2 dx с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегриро-
−1
вания на 10 частей. Все вычисления производить с округлением до третьего десятичного знака.
|
|
|
x = 2 cos t, |
. |
4.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями |
||||
|
|
|
y = 6sin t |
|
5. |
Вычислить длину дуги кривой y = |
e x + e−x |
+3, 0 ≤ x ≤ 2. |
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
6. |
Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси OX |
|
||
фигуры, ограниченной графиками функций: |
|
|
||
y = x 2 +1, y = x, x = 0, x =1. |
|
|
|
65
“Интегральное исчисление функции одной переменной”
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1.Найти неопределенные интегралы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
1.1. ∫23x −2 dx |
|
|
|
|
|
|
|
1.2. ∫ |
|
|
|
dx |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 −9x2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1.3. ∫ |
|
|
2x −3 |
|
dx |
|
|
|
1.4. ∫ |
|
|
3x3 + 4x + 4 |
dx |
|||||||||||
x2 −3x + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x + 2 |
|
|
||||||||||||||||
1.5. ∫ |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.6. ∫x2 arctgx dx |
|||||||||||
|
|
x +3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1.7. ∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
1.8. ∫ |
|
|
|
x +1 |
|
|
dx |
|||
|
|
2x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
2 |
|
3 |
||||||||
|
|
|
−6x +1 |
|
|
|
|
|
|
− 2x − |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4x2 +3x +17 |
|
|
|
∫ |
5x + 2 |
|
|
|
||||||||||
1.9. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.10. |
x2 +3x − 4 dx |
||||||||||||
( |
x |
− ) |
(x |
2 + |
2x |
+ |
5) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1.11. ∫sin 3x cos x dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2.Исследовать несобственные интегралы на сходимость. |
|
|||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
3 |
|
|
|
|
|||||
2.1. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.2. ∫ |
|
|
x dx |
|
|
|
|
|||||
(x |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|||||||||
0 |
|
− 2) |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 + x |
|
|
|
3.Вычислить приближенное значение определенного интеграла
12
∫ x3 + 4 dx с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегриро-
2
вания на 10 частей. Все вычисления производить с округлением до третьего десятичного знака.
4.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями ρ = 3(1 + cosϕ).
5. |
Вычислить длину дуги кривой y = −ln cos x, 0 ≤ x ≤ |
π . |
|
|
6 |
6. |
Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси OX |
фигуры, ограниченной графиками функций : y = x2 , x = 2, y = 0 .
66
“Интегральное исчисление функции одной переменной”
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 7 |
|
|
|
|
|
|||
1.Найти неопределенные интегралы. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1.1. ∫ |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
1.2. ∫ |
|
dx |
|
|
||||
|
(3x +1) |
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9x |
− 4 |
|
|||||||
1.3. ∫ |
ctg2x |
|
|
|
|
|
|
2x3 − x + 4 |
||||||||||
|
dx |
|
|
|
1.4. ∫ |
|
|
|
dx |
|||||||||
sin2 2x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
3 − x |
|||||||||||||
1.5. ∫ |
|
|
|
x +1 |
|
dx |
1.6. ∫arcsin 2x dx |
|||||||||||
|
|
x(x − |
2) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1.7. ∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
1.8. ∫ |
|
|
|
x −3 |
dx |
|||
|
|
x |
2 |
−6x +8 |
|
x |
2 |
−5x + 4 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
( x 2 −5x + 46)dx |
1.10. ∫ |
|
2x −1 |
|
||||||||||
1.9. ∫ |
|
|
|
|
|
x2 −3x + 4 dx |
||||||||||||
|
(x + 2) |
(x 2 − 2x +10) |
|
1.11. ∫cos3 3x sin2 3x dx
2.Исследовать несобственные интегралы на сходимость.
0 |
dx |
∞ ln x |
|
|
2.1. ∫ |
|
2.2. ∫ |
|
dx |
2 |
|
|||
−4 |
(x + 3) |
1 |
x |
|
3.Вычислить приближенное значение определенного интеграла
11
∫ x3 +3dx с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегриро-
1
вания на 10 частей. Все вычисления производить с округлением до третьего десятичного знака.
4.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиейρ = 4sinϕ .
5. |
Вычислить длину дуги кривой y = −2 −e x ,ln 3 ≤ x ≤ ln 8 . |
6. |
Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси OY |
фигуры, ограниченной графиками функций: y = x3, y = x2 .
67
“Интегральное исчисление функции одной переменной”
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.Найти неопределенные интегралы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1.1. ∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
1.2. ∫ |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x −5 |
|
|
|
3 |
+ 4x |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1.3. ∫(x2 + 4x +5)7 (x + 2)dx |
1.4. ∫ |
3x2 + 4x −1 |
|
dx |
|||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x +1 |
|
||||||
1.5. ∫ |
|
|
|
2 |
|
|
|
dx |
|
|
1.6. ∫xarctg2x dx |
||||||||||||
|
|
x + |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1.7. ∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
1.8. ∫ |
|
|
|
2x −1 |
|
dx |
|||||||
1 |
− 2x −3x |
2 |
|
3x |
2 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
−6x −9 |
|
||||||||||||||||||
1.9. ∫ |
|
|
|
|
|
|
4x −10 |
1.10. ∫ |
|
3x + 2 |
|
||||||||||||
(x + 2) (x2 − 2x +10)dx |
|
4 + x − x2 |
dx |
||||||||||||||||||||
1.11. ∫ |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3 + 2sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2.Исследовать несобственные интегралы на сходимость. |
|
||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
dx |
|
|
|
∞ arctgx |
|
|||||||||||||||
2.1. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
2.2. ∫ |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
||||||
|
x −1 |
|
|
|
1 |
+ x |
2 |
|
|
||||||||||||||
−2 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
3.Вычислить приближенное значение определенного интеграла
7
∫ x3 +36 dx с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегри-
−3
рования на 10 частей. Все вычисления производить с округлением до третьего десятичного знака.
4.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линия-
ми y = 4 − x2 , y = x2 − 2x .
5.Вычислить длину дуги кривойρ = 5(1 −cosϕ),−π3 ≤ ϕ ≤ 0 .
6.Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной графиками функций:
y = 5cos x, y = cos x, x ≥ 0 .
68
“Интегральное исчисление функции одной переменной”
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 9 |
|
|
|
|
|
|
|
1.Найти неопределенные интегралы. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1.1. ∫ |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.2. ∫ |
|
|
dx |
|
|
|
|
|||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||
|
|
cos |
9x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9x −5 |
|
|
|
||||||
1.3. ∫23x 2 +1 xdx |
|
|
|
|
|
|
1.4. ∫ |
|
2x2 −3x + 4 |
dx |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x −3 |
|
|
|||
1.5. ∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.6. ∫(x2 + 4)e2 xdx |
|||||||||
2 |
+ |
x +3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1.7. ∫ |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.8. ∫ |
|
|
2x −1 |
|
dx |
||
|
2x |
2 |
+ 6x +3 |
|
|
|
|
3 |
+ x − 2x |
2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 + 23 |
|
|
|
|
∫ |
2x + 4 |
|
||||||||||
1.9. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx 1.10. |
3x2 + x −5 dx |
|||||||||
( |
x |
|
+ |
) |
(x |
2 |
+ |
6x |
+ |
13) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.11. ∫cos3 2xdx
2.Исследовать несобственные интегралы на сходимость.
1 |
x2dx |
∞ |
|
x2 |
|
|
2.1. ∫ |
|
2.2. ∫ |
|
|
|
dx |
1− x3 |
1 + x |
3 |
||||
0 |
1 |
|
|
3.Вычислить приближенное значение определенного интеграла
8
∫ x3 +8 dx с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегриро-
−2
вания на 10 частей. Все вычисления производить с округлением до третьего десятичного знака.
4.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линия-
ми y = (x +1)2 , y2 = x +1.
5.Вычислить длину дуги кривой ρ = 2(1 −cosϕ),−π ≤ ϕ ≤ −π2 .
6.Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси OY
фигуры, ограниченной графиками функций : y = ln x, x = 2, y = 0 .
69
“Интегральное исчисление функции одной переменной”
|
|
|
|
Вариант 10 |
|
|
|
|
|
|
||||
1.Найти неопределенные интегралы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1.1. ∫ |
23x−1dx |
|
|
1.2. |
∫ |
|
dx |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1 + 4x |
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1.3. ∫esin 3x cos3xdx |
1.4. |
∫ |
|
3x2 + 4x −3 |
dx |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x +3 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1.5. ∫ |
2 |
dx |
|
|
1.6. |
∫(x2 +1)cos8xdx |
||||||||
2 + x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.7. ∫ |
dx |
|
|
|
1.8. |
∫ |
|
|
2x −1 |
|
|
dx |
||
2x −3 − 4x |
2 |
|
|
3x |
2 |
6 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
− 2x + |
|
|
||||||
|
19x − x2 −34 |
|
|
∫ |
3x + 4 |
|
|
|
||||||
1.9. ∫ |
(x +1) |
(x2 − 4x +13)dx |
1.10. |
2 +3x − x2 dx |
1.11. ∫cos3x cos 2xdx
2.Исследовать несобственные интегралы на сходимость.
4 |
|
dx |
0 |
arcgtg2x |
|
|
2.1. ∫ |
|
|
2.2. ∫ |
|
|
dx |
3 |
(x −3)2 |
1 + 4x |
2 |
|||
0 |
−∞ |
|
|
3.Вычислить приближенное значение определенного интеграла
8
∫ x3 +11 dx с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегри-
−2
рования на 10 частей. Все вычисления производить с округлением до третьего десятичного знака.
4.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
x = (y − 2)2 , x = 4 y −8.
x = 5(t −sin t)
5.Вычислить длину дуги кривой 0 ≤ t ≤ π .
y = 5(1 −cos t),
6.Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси OX
фигуры, ограниченной графиками функций: y = x2 , y = −x + 2, x = 0
70