Пример 11.

u = arctgx,dυ = xdx,

x2

1

x2dx

∫

2

∫

x arctg x dx =

dx

x

=

arctgx −

=

2

2

1 + x2

du =

,υ

=

1 + x2

2

x2

1

1

x2

x

1

arctgx −

1

−

dx =

arctgx −

+

arctgx +C .

2

2

2

∫

1 + x

2

2

2

III. Интегралы вида

∫eax sinbx dx,

∫eax cos bx dx .

u

= e2 x , dυ = cos 3xdx,

2 x 1

∫e

2 x

cos

1

= e

sin 3x −

3xdx =

2 x

dx,υ =

3

du = 2e

3

sin 3x

2

u = e2 x , dυ = sin 3x,

2 x 1

−

∫e

2 x

1

= e

sin 3x −

3

sin 3xdx =

2e

2 x

dx,υ

= −

3

du =

3

cos 3x

−

2

(−e2 x 1 cos 3x +

2 ∫e2 x cos 3xdx = 1 e

2 x sin 3x +

2 e2 x

cos 3x −

3

3

3

3

9

−

4

∫e2 x

cos 3xdx +С.

9

Обозначив I = ∫e2 x cos3xdx , получим

I = e2 x 1 sin 3x + 2 e2 x

cos 3x −

4

I +С.

3

9

9

f (x)=

Pm (x)

, где

Q (x)

(x)= a

xm +a

xm−1

n

P

m−1

+ ...+a x +a

,

a ≠ 0, m > 0,

m

m

1

0

m

Q

(x)= b

xn +b

xn−1 + ...+b x +b ,

b

≠ 0, n > 0,

n

n

n−1

1

0

n

называется рациональной дробью.

Pm

(x)

Если

m < n ,

то рациональная дробь

называется правильной

Q

(x)

2x +3

n

например,

, если m ≥ n, то рациональная дробь называется

3x2 + 4x −5

неправильной, например,

3x + 2

2x2 −3x + 2

.

4x −3 ,

3x −1

1

;

1

;

Mx + N

;

Mx + N

.

x −a

(x −a)k

x2 + px +q

(x2 + px + q)k

Если рациональная дробь

Pm (x)

неправильная, то ее всегда можно пред-

Q

(x)

n

ставить в виде суммы целой рациональной функции Mm−n(x) и правиль-

P

(x)

P

(x)

= Mm−n(x)+

P

(x)

ной дроби

n−1

:

m

n−1

.

Q

n

(x)

Q

n

(x)

Q

n

(x)

x3 + 2x2 + x −1

2x +3

3

1

2

1

1

x3 +

2 x2

2 x

+

4 x +

8

1

x

2

+ x −1

2

1

x

2

+

3

x

2

4

1 x −

1

4

1 x +

3

4

8

−

11

8

x3 +2x2 + x −1

=

1

x2

+

1

x +

1

−

11

1

.

2x +3

2

4

8

8

2x +3

x3 +2x2 + x −1

=

1

x2

+

1

x +

1

−

11

1

.

2x +3

2

4

8

8

2x +3

Pm (x)

Pm (x)

=

=

Qn(x)

bn(x −a)k (x −b)l (x2 + px +q)s

=

A1

+

A2

+ ...+

Ak

+

B

+

B2

+ ...+

Bk

+

M1x + N1

+

x −a

(x −a)2

(x −a)k

x

−b

(x −b)2

(x

−b)k

x2 + px +q

+

M2 x + N2

+ ...+

Ms x + Ns

.

(x2 + px +q)2

(x2 + px +q)s

Pm (x)

На практике представление правильной дроби

в виде линей-

Q

(x)

n

ной комбинации простейших дробей проводят по следующей схеме:

а) знаменатель Qn(x) данной дроби раскладывают на множители;

б)

записывают дробь

Pm (x)

в виде линейной комбинации простейших

Q (x)

n

2x2 −3x −2 = 0,

x = 2,

x

2

= −

1

.

1

2

2x2 −3x −2

= 2(x −2) x +

1

= (x −2)(2x +1);

2

2x +3

=

A

+

B

;

x −

2

2x +1

2x2 −3x −2

A

B

A(2x +1)+ B(x −2)

в)

+

=

, т.е.

x −2

2x +1

(x −2)(2x +1)

2x +3

=

A(2x +1)+ B(x −

2)

;

2x2 −3x −2

(x −2)(2x +1)

г) приравниваем числители:

2x +3 = 2Ax + A + Bx −2B .

Сравниваем коэффициенты при степенях

x :

x1

2 = 2A + B ,

x0

3 = A −2B .

Из полученной системы находим A и B :

A =

7

,

B = −

4

.

5

5

д) разложение имеет вид

2x +3

=

7

−

4

.

2x2 −3x −2

5(x −2)

5(2x +1)

x + 2

2.

.

x3 − x2 − x +1

ется действительные корни

x = −1,

x =1,

причем последний корень крат-

ности 2 (т.е. повторяется 2 раза).

б)

x +2

=

A

+

B

+

C

;

x3 − x2 − x +1

x −1

(x −1)2

x +1

в)

A

+

B

+

C

=

A(x2 −1)+ B(x +1)+C(x −1)2

;

x −1

(x −1)2

x +1

(x −1)2 (x +1)

x + 2

=

A(x2 −1)+ B(x +1)+C(x −1)2

;

x3 − x2 − x +1

(x −1)2 (x +1)

x =1

3 = 2B , B =

2

,

3

x = −1

1 = 4C , C =

1

,

4

3

1

1

x = 0

2 = −A + B +C ,

A = −2 + B +C = −2 +

+

= −

.

2

4

4

x +2

1

3

1

д)

= −

+

+

.

x3 − x2 − x +1

4(x −1)

2(x −1)2

4(x +1)

Пример 14.

2x +1

.

x3 − 2x2 + 5x

x2

0 = A + B,

x1

2 = 2A +C ,

x0

1 = 5A.

Решая полученную систему, находим

A =

1

,

B = −

1

,

C =

8

.

5

5

5

2x +1

1

x −8

д)

=

−

5(x2 +2x +5).

x3 −2x2 +5x

5x

Пример 15.

x3 − 2

.

(x2 + 2)2

x3 − 2

б) дробь

представим в виде суммы простейших дробей:

(x2 + 2)2

x3 −2

Ax + B

Cx + D

=

+

;

(x2 +2)2

x2 +2

(x2 +2)2

Ax + B Cx + D

(Ax + B)(x2 +2)+Cx + D

в)

+

=

;

x2 +2

(x2 +2)2

(x2 +2)2

x3 −2

=

(Ax + B)(x2 +2)+Cx + D

;

(x2 + 2)2

(x2 +2)2

x3

1 = A,

x2

0 = B ,

x1

0 = 2A +C ,

x0

−2 = 2B + D .

Решая полученную систему, находим

C = −2,

D = −2 ;

A =1,

B = 0,

д) следовательно,

x3 −2

=

x

−

2x +2

.

(x2 +2)2

x2 +2

(x2 +2)2

1

1

Mx + N

Mx + N

,

,

,

.

x −a

(x −a)k

x2 + px +q

(x2 + px +q)k

а) интегралы вида

∫

dx

,

∫

dx

.

x −a

ax + b

∫

dx

= ∫d(xx−−aa)= ln

x −a

+C .

x −a

В общем случае

∫

dx

1

∫

d(ax +b)

1

= a

= a ln

ax +b

+C ;

ax +b

ax +b

б) интегралы вида ∫

dx

,

∫

dx

.

k

k

(x −a)

(ax + b)

∫

dx

= ∫(x −a)−k d(x −a)= (x −a)−k+1

+C = −

1

+C .

k

k−1

(x −a)

−k +1

(k −1)(x −a)

∫

dx

=

1

∫

(ax +b)−k d(ax +b)=

1

(ax +b)−k +1

+C =

k

a

a

−k +1

(ax +b)

= −

1

+C;

a(k −1)(ax +b)k −1

в) интегралы вида ∫

dx

.

ax

2

+ bx + c

∫

dx

= ∫

dx

= ∫

dx

=

4x2 +12x +13

((2x)2 + 2 2x 3 +9)−9 +13

(2x +3)2 + 4

=

1

∫

d(2x +3)

=

1

arctg

2x +3

+C;