+

1 ln1

+ t

+C = −

1 ln1 + tg2 x

+

x

+ ln1 + tgx

+C =

2

4

2

=

1

ln

cos x

+

1

x +

1

ln

1+tgx

+C .

2

2

2

Пример 28.

t3dt

dt

∫ctg3 xdx = ctgx = t, x = arcсtgx, dx = −

= −∫

=

1+ t

2

1+ t

2

d (t 2 +1)

t

1

1

2

1

2

= −∫ t −

dt = −∫tdt +

∫

== −

t

+

ln1+ t

=

1+ t

2

2

t

2

+1

2

2

m1

m2

mk

Пример 29. ∫

dx

x

.

x + 3

∫

dx

= ∫

6t5dt

= 6∫

t3dt

2

−t +1

−

1

x +

3

x

t

3

+ t

2

t +1

= 6∫ t

dt =

t +1

1

t

3

−

1

t

2

++С = 2 x −33 x +66 x

−6ln 6 x +1 +C.

6

3

2

+t −ln t +1

Пример 30.

n = НОК(1,2)= 2, 4x −3 = t

x2dx

2

(t

2

=

2 +3)

t

dt =

=

2

∫(4x −3) 4x −

3 x =

t

+3

,

dx =

t

dt

∫16 2 t 2 t

2

1

t 4 +6t 2 +

9

1

4

9

1

t3

9

2

=

∫

dt

=

∫

t

+6

+

dt =

+

6t −

+C

=

32

t

2

32

t

2

32

t

3

= 1 (4x −

3)2 + 3 (4x −3)2

−9(4x −3)2

+C.

3

1

1

96

16

3 случай. Интегралы вида

m1

m2

mk

ax +b

ax +b

ax +b

n1

n2

nk

∫R(x,

,

,...,

)dx .

cx +d

cx

+d

cx +d

Этот интеграл сводится к интегралу от рациональной функции с по-

мощью подстановки:

ax + b

= t n , где n = НОК(n , n

,..., n

).

k

cx + d

1

2

1

4 случай. Интеграл вида

∫

dx.

ax

2

+bx +c

этого вида сводятся к табличным интегралам ∫

du

или

∫

du

.

u

2

2

a

2

2

Пример 31.

± a

± u

d(2x +1)

1

1

1

∫

4x2 + 4x −3 dx = ∫

(2x +1)2 −4 dx =

2 ∫ (2x +1)2 −4

= 2x +1 = t =

=

1 ∫

dt2

= 1 ln t +

t 2 −4 +C = 1 ln 2x +1

+ 4x2 + 4x −3 +C.

2

t −4

2

2

5 случай. Интеграл вида

∫

Mx + N

dx .

2

интеграла

∫

1

dx приведено выше.

Пример 32.

ax2 + bx + c

3

3

3x + 2

(8x + 4)−

+

2

3

(8x + 4)

∫

dx

=

∫ 8

2

dx =

∫

dx +

4x

2

+ 4x + 5

4x

2

8

4x

2

+ 4x + 5

2

+ 4x + 5

+ 1 ∫

2

1

dx = 3 ∫d(4x2

+ 4x + 5)

+1 ∫

1

dx =

2

2 4x + 4x + 5

8

4x + 4x + 5 2

4x + 4x + 5

=

3

2 4x

2

+ 4x + 5

+

1

∫

d(2x +1)

+ C =

3

4x

2

+ 4x + 5 +

8

4

2

4

(2x +1) + 4

+

1 ln 2x +1 + 4x2

+ 4x + 5 + C.

4

Замечание.

Если в подкоренном выражении коэффициент при x2

a < 0 , то

сумме интегралов вида ∫undu и ∫

a

2

1

2

du .

− u

6 случай. Интегралы вида

∫R(x,

a2 − x2 )dx,

∫R(x,

a2 + x2 )dx, ∫R(x,

x2 −a2 )dx .

а)

интегралы вида

∫R(x,

a2 − x2 )dx с помощью тригонометрической

подстановки

x = asin t или

x = a cos t

сводятся к интегралам от триго-

нометрической функции.

Пример 33.

∫(

4 − x2 )dx = x = 2sin t,

dx = 2cos tdt

= ∫

4 − 4sin 2 t 2cos tdt =

= 4∫

1−sin2 t cos tdt = 4∫cos2

tdt =2∫(1+cos 2t)dt =

1

+C = 2 arcsin

1

x +

x

4 − x

2

+C;

= 2 t +

2

sin 2t

2

2

б)

интегралы вида

∫R(x,

a2 + x2 )dx с помощью тригонометрической

подстановки x = a

tgt или x = a ctgt сводятся к интегралам от тригоно-

12

22

I = ∫

x

4

+

4

dx =

x = 2tgt,

dx =

t

dt

=

x

cos

= ∫

2

dt =

1

∫

cos4

t cos t

dt =

cos

2

t

4

2

t +

4

16

cos

2

t sin

4

t

16tg

t 4tg

=

1

∫

cos3 t

dt

=

1

∫

(1

−sin2

t)d(sin t )

=

16

sin

4

t

16

sin

4

t

=

1

∫

d

(sin t)

− ∫

d(sin t)

= −

1

+

1

+C.

16

sin

4

t

sin

2

t

48sin

3

t

16sin t

Выразим sin t

через x , используя тригонометрическую формулу

sin t

=

tgt

и саму подстановку x = 2tgt , т.е. tgt =

x

:

1 + tg2 t

x

2

x .

sin t =

2

=

1 +

x2

4 + x

2

Окончательно

4

I = −(4 + x2 ) 4 + x2

+

4 + x2

+ C ;

∫R(x,

48x3

16x

в) интегралы вида

x2

−a2 )dx с помощью тригонометрической

подстановки

x =

a

или

x =

a

сводятся к интегралам от тригоно-

sin t

cos t

метрического выражения.

Пример 35.

4