1.5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ

tg

x

= t

, x = 2arctgt, dx =

2dt

,

1+ t

2

x

2

2tg

2t

∫R (sin x, cos x)dx =

sin x =

2

=

,

=

x

2

1+ tg

2

1+ t

2

1−tg

2

x

1−t 2

cos x =

2

=

x

1+ t 2

1+ tg

2

2

2t

1

− t 2

2dt

∫R1 (t)dt .

= ∫R

,

=

+ t

2

1

+ t

2

2

1

1+ t

Пример 20.

x

2dt

2t

dx

,sin x =

∫

=

tg

= t, x

= 2arctgt, dx =

=

1

+sin x

2

1+ t

2

1

+ t

2

= ∫

2

dt

=2∫

1+ t 2

dt =

2

2t

(1+ t

2

)(1+ t

2

+ 2t )

(1+ t

) 1

+

1

+ t 2

= 2∫

1

dt = −

2

+ C =

2

+ C .

(1

2

1 + t

x

+ t )

1 + tg

2

2 случай. Интегралы вида

∫sinm x cosn x dx .

а) m ,n − целые, положительные, хотя бы одно

из них нечетное,

(m = 2k +1).

Используется подстановка cos x = t .

∫sinm x cosn x dx = ∫sin2 k+1 x cosn

xdx =

= ∫sin2 k x cosn x sin xdx =

= −∫(1−cos2 x)k cosn xd(cos x)={cos x = t}=

= −∫(1− t2 )k tndt = ∫R(t)dt.

Пример 21.

∫sin m x cosn x dx = ∫sin m x cos2k +1 xdx = ∫sin m x(1 −sin 2

x)k d(sin x)=

={sin x = t}= ∫t m (1−t 2 )k dt = ∫R(t)dt .

Пример 22.

∫sin4 x cos3

xdx = ∫sin4

x cos2 x cos xdx = ∫sin4 x(1−sin2 x)d(sin x)=

=

sin x = t

== ∫t 4 (1−t 2 )dt = ∫(t 4 −t 6 )dt =

t5

−

t7

+C =

5

7

= sin5 x − sin7 x +C;

5

7

в) m ,n −целые, положительные, четные.

В этом случае целесообраз-

но применить формулы понижения степени:

sin2 x =1−cos 2x ,

cos2 x =1+cos 2x

,

sin x cos x =

1 sin 2x ,

2

2

2

Пример 23.

2

4

1 + cos 2x

1

∫(1

2

2x)dx =

∫cos

xdx = ∫

dx =

+ 2cos 2x + cos

2

4

1

1

1

1

1

=

x +sin 2x +C +

∫(1

+cos 4x)dx

=

x +

sin 2x +

x +

4

2

4

4

8

+

1

sin 4x +C =

3 x + 1 sin 2x +

1

sin 4x +C.

32

32

8

4

г) m ,n −целые, отрицательные, четные. В этом случае удобно применить

подстановку tgx = t и использовать формулы:

cos

2 x =

1

=

1

,

sin2

x =

tg2 x

=

t 2

, dx

=

1

dt .

1+ tg2 x

1+ t

2

1+ tg2 x

1

+ t 2

1+ t 2

Пример 24.

1

1

tgx = t,

x = arctgt

,

dx =

dt,

∫

dx =

1

+ t

2

=

t 2

sin2 cos4

x

sin

2

x =

,

cos

2

x

=

1

1

+ t

2

1

+ t 2

(1+t 2 )(1+t 2 )2

(1+t 2 )2

t 4 +2t 2 +1

2

1

= ∫

(1+t

)t

dt = ∫

dt =

∫

dt = ∫ t

+2 +

dt =

2

2

t

2

t

2

t

2

= 1 t3

+ 2t −

1 +C = 1 tg3 x + 2tgc −ctgx +C;

3

t

3

д) m,n −целые, отрицательные. В этом случае целесообразно применять

подстановку cos x = t

или sin x = t .

Пример 25.

d(sin x)

I = ∫

dx

= ∫

cos

dx

= ∫

=

sin x = t

=

2

2

2

2

2

sin

x cos x

sin

x cos

x

sin

x(1−sin

x)

= ∫

dt

.

t

2

(1−t

2

)

1

A

B

C

D

=

+

+

+

.

t 2 (1−t 2 )

t

t 2

1−t

1+t

1

=

At(1−t 2

)+ B(1−t 2 )+Ct 2 (1

+ t )+ Dt 2 (1−t )

.

t 2 (1−t 2 )

t 2 (1−t 2 )

= −

1

cos 7 x +

1

cos x +C .

2

14

4 случай. Интегралы вида

∫ R(ctgx)dx, ∫ctgm xdx .

∫ R(tgx)dx,

∫tgm xdx,

Пример 27 .

∫

dx

=

tgx = t, x = arctgt,dx =

dt

= ∫

dt

.

1

+ tgx

1

+ t

2

(1 + t

2

)(1

+ t)

1

At + B C

(At + B)(1+t )+C(1

+t 2 )

=

+

=

(1−t 2 )(1+t)

.

(1+t 2 )(1+t)

1+t 2

1+t

t2

0 = A + C ,

t1

0 = A + B,