1.3. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
1.3.1. Непосредственное интегрирование
При непосредственном интегрировании используем следующие преобразования дифференциала:
1. dx = 1a d(ax +b), то есть, всегда можем добавить под знак диффе-
ренциала “нужное слагаемое b ” или “нужный множитель a ”, при этом вводим компенсирующий множитель “ a1 ”,например, dx = 13 d( 3x + 2 ).
2.ϕ′( x ) dx = d(ϕ( x ))
Эта операция называется подведение функции под знак дифференциала,
1 |
dx |
= d (tgx ) или |
например, cos 2 x |
( 2x + 3 )dx = d( x2 + 3x −5 ) .
Пример 4.
∫(x2 −3x + 4)5 (2x −3)dx = ∫(x2 −3x + 4)5 d(x2 −3x + 4)=
= (x2 −3x + 4)6 +C. 6
Пример 5.
∫ |
|
|
|
|
dx |
= |
1 |
∫ |
|
2dx |
= |
1 |
∫ |
d(arcsin 2x) |
= |
|||
1 −4x |
2 |
arcsin 2x |
2 |
1−4x |
2 |
arcsin 2x |
2 |
arcsin 2x |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= |
1 ln |
|
arcsin 2x |
|
+C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.3.2. Интегрирование подстановкой ( замена переменной )
Теорема. Если f (x)− непрерывная функция на интервале (a; b), и функция x =ϕ(t) есть непрерывно – дифференцируемая (имеющая
непрерывную производную) функция на некотором интервале изменения t , то справедлива формула
Пример 6. |
∫ f (x)dx = |
|
x =ϕ(t),dx =ϕ′(t)dt |
|
= ∫ f (ϕ(t))ϕ′(t)dt . |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
1 + x |
= t 2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
( |
1 + x )dx |
|
|
t 2t dt |
|
2t 2dt |
|
|
(t 2 −1 +1)dt |
|
||||||||||||||
∫ |
= |
x = t |
2 |
−1, |
= ∫ |
= ∫ |
= 2∫ |
= |
|||||||||||||||||
|
x |
|
t |
2 |
−1 |
t |
2 |
−1 |
t |
2 |
− |
1 |
|||||||||||||
|
|
|
dx = |
2tdt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
13
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
t −1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 + x −1 |
|
|
|
+ |
|
|
= |
+ |
|
ln |
|
1 + x + |
ln |
|
|
+C. |
|||||||||||
= 2∫ 1 |
t |
2 |
−1 |
dt |
2 t |
2 |
|
+C = 2 |
2 |
|
1 + x +1 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Пример 7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1 +3x = t3 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
1 |
(t3 −1), |
|
|
|
|
|
t 4 |
|
|
1 |
|
|
|
||||
∫3 1 +3xdx = |
|
|
|
∫t t 2dt = ∫t3dt = |
|
|
(1 +3x) |
3 |
|
|
|||||||||||||
x = |
3 |
= |
|
+C = |
4 |
|
+C . |
||||||||||||||||
4 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dx = t 2dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1.3.3. Интегрирование по частям
Теорема. Пусть u(x), υ(x)− две непрерывные функции, имеющие
непрерывные производные. Справедлива формула интегрирования по частям
∫u dυ = uυ − ∫υ du.
Действительно,
(u(x) υ(x))′ = u′(x) υ(x)+ u(x) υ′(x),
отсюда |
′ |
|
′ |
′ |
|
u(x) υ (x)= (u(x) υ(x)) |
− u (x) υ(x). |
|
Тогда |
|
|
∫u(x) υ′(x)dx = ∫(u(x) υ(x))′dx − ∫u′(x) υ(x)dx . |
||
′ |
′ |
|
Учитывая, что υ (x)dx = dυ(x), |
u (x)dx = du(x), |
|
получим
∫u dυ = uυ − ∫υ du.
Интегрирование по частям применяют в том случае, когда под знаком интеграла стоит произведение двух функций различной структуры и ни одна из них не является производной другой или части другой функции, причем за u(x) принимают ту функцию, которая после дифференцирования наиболее упрощается, за dυ все, что “осталось” под знаком интеграла, при условии, что dυ может быть найден.
Интегралы, которые вычисляются с помощью интегрирования по частям, можно разбить на три группы.
I.Интегралы вида ∫Pn(x)eaxdx, ∫Pn(x)sinax dx, |
∫Pn(x)cos axdx . |
Для этой группы интегралов за функцию u(x) |
следует взять много- |
14
член Pn (x), т.е. u = Pn(x), за dυ - все что “осталось” под знаком интеграла.
Пример 8.
u = x +1,dυ = e xdx, ∫(x +1)e xdx =
du = dx,υ = ∫e xdx = e x
= (x +1)e x −e x +C .
Пример 9.
= (x +1)e x − ∫e xdx =
|
|
|
2 |
u = x2 |
,dυ = cos |
2xdx, |
|
1 |
|
2 |
|
1 |
|
|
I = |
|
x |
|
|
|
|
= |
x |
sin2x − |
sin2x 2x dx = |
||||
∫ |
|
cos2xdx = |
|
|
|
2 |
|
2 ∫ |
||||||
|
|
|
du = 2xdx,υ = |
1 sin2x |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
=12 x2 sin2x − ∫x sin2xdx.
Врезультате применения формулы интегрирования по частям получили интеграл ∫x sin2xdx , который также берется по формуле интегриро-
вания по частям
u = x,du = dx,dυ = sin2x,υ = − 12 cos 2x .
Таким образом,
I = 12 x2 sin 2x + 12 x cos 2x − 12 ∫cos 2x dx = 12 x2 sin 2x +
|
|
|
|
+ 1 x cos 2x − |
1 sin 2x +C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
II. Интегралы вида |
∫Pn(x)ln xdx, |
|
∫Pn(x)arcsin xdx, |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫Pn(x)arccos xdx, |
∫Pn(x)arctg xdx. |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
Для этой группы интегралов за dυ рекомендуется взять Pn(x)dx , т.е. |
||||||||||||||||||||||||
dυ = Pn(x)dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Пример 10. |
|
|
u = ln x,dυ = (x2 +1)dx, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||
∫(x |
|
|
+1)ln xdx = |
|
dx |
,υ = |
|
x3 |
+ x |
|
= ln x |
3 |
|
+ x |
− |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
du = |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x 3 |
|
|
1 |
|
x 3 |
|
|
|
x 2 |
|
x 3 |
|
|
x 3 |
|
|
|||||||||||
− ∫ |
|
|
+ x |
|
|
dx = ln x |
|
|
+ x |
− ∫ |
|
|
|
+1 dx = ln x |
|
|
|
+ x |
− |
|
+ x |
+ C. |
|||||
|
3 |
x |
3 |
|
|
3 |
|
9 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
15