Дифракционная решетка

Цель работы:

• экспериментально исследовать закономерности взаимодействия световых волн с периодической структурой (дифракционной решеткой) с помощью виртуальной модели.

Приборы и принадлежности:

• персональный компьютер

• компьютерные модели «Открытая физика 1.1».

Краткая теория

Понятие «дифракция» в оптике связывается с нарушением прямолинейности распространения света. Дифракцией называется любое отклонение распространения света от прямолинейного, не связанное с отражением и преломлением. В более узком смысле дифракцией называют огибание волнами препятствий. Расчет такой картины связан с математическими трудностями. Качественный метод расчета дифракционной картины предложил Френель. Основной идеей метода является принцип Гюйгенса-Френеля:

Каждая точка, до которой доходит волна, служит источником вторичных волн, а огибающая этих волн дает положение волнового фронта в следующий момент времени.

Волновой фронт это геометрическое место точек, до которых доходят колебания к некоторому моменту времени. Геометрическое место точек, для которых колебания имеют одинаковые фазы, называют волновой поверхностью. Волновой фронт также является волновой поверхностью.

Дифракционной решеткой называется совокупность большого числа одинаковых, отстоящих друг от друга на одном и том же расстоянии щелей, лежащих в одной плоскости и разделенных непрозрачными промежутками, равными по ширине. Периодом решетки называется расстояние между серединами соседних щелей.

Для расчета картины, полученной с помощью дифракционной решетки, рассмотрим дифракцию от двух щелей (рис. 1). Предположим, что монохроматический свет с длиной волны падает перпендикулярно решетке. Фронт отклонившейся волны есть плоскостьDF, перпендикулярная к направлению дифрагированных лучей. Оптическую разность хода лучей, идущих от крайних точек щелей или от середины, найдем как

А₂М₁=А₂А₁,

M₁D = A₂D – A₂M₁ = и т.д.,

где d =A₂A₁=A₁A – период дифракционной решетки.

Для усиления света необходимо чтобы оптическая разность хода лучей равнялась целому числу волн, т.е.

, (1)

где m= 0,1,2,3 … порядок главных максимумов. Выражение (1) называетсяуравнением дифракционной решетки.

Рис. 1. Прохождение лучей через дифракционную решётку

Главные минимумы определятся уравнением

. (2)

Кроме главных минимумов, в случае дифракции от многих щелей между главными соседними максимумами наблюдаются дополнительные минимумы. Последние возникают в тех направлениях, для которых колебания от отдельных щелей взаимно погашают друг друга. В случае N щелей между максимумами наблюдается N – 1 дополнительный минимум. Условие возникновения дополнительных минимумов

dsin =  m^/   N, (3) где m^/ – любое целочисленное значение кроме тех, при которых условие (3) переходит в (1).

Из уравнения для дифракционной решетки (1) можно сделать следующие выводы:

1. Дифракционная решетка будет давать заметную дифракцию (значительные углы отклонения) только в том случае, когда период решетки соизмерим с длиной световой волны, т.е. d  10 ^–4 см. Откуда следует, что оптическая дифракционная решетка должна иметь число штрихов на миллиметр порядка 10² – 10³. Дифракционные решетки с малым периодом отклоняют световые лучи сильнее, чем с большим.

2. Положение главных максимумов дифракционной картины зависит от длины волны, и спектральные составляющие излучения немонохроматического пучка отклоняются решеткой на разные углы (дифракционный спектр). Это позволяет использовать дифракционную решетку в качестве диспергирующего элемента спектрального прибора.

3. Максимальный порядок спектра, при нормальном падении света на дифракционную решетку, ограничивается соотношением:

m_max  d .

При наклонном падении параллельного пучка света на дифракционную решетку условие получения главных максимумов следующее:

d(sin – sin) =m  , (m = 0, 1, 2 …), (4)

где – угол падения пучка света на поверхность дифракционной решетки, – угол дифракции пучка света на решетке.

Д

ифракционные решетки, используемые в различных областей спектра, отличаются размерами, формой, материалом поверхности, профилем и частотой штрихов (от 6000 до 0,25 штрих/мм), что позволяет перекрыть область спектра от ультрафиолетовой его части (  100 нм) до инфракрасной (  1 мкм). Широко используются в спектральных приборах также гравированные решетки (реплики), которые представляют собой отпечатки решеток на специальных пластмассах с последующим нанесением металлического отражательного слоя.

Дифракционная решетка, как и любой другой спектральный прибор, характеризуется дисперсией и разрешающей способностью. Дисперсия определяет угловое или линейное расстояние между двумя спектральными линиями, отличающимися по длине волны на 1 Å. Угловой дисперсией называется величина D, равная производной от угла отклонения лучей по длине волны,

(5)

Для нахождения угловой дисперсии дифракционной решетки необходимо продифференцировать уравнение (1):

.

Откуда . (6)

В пределах небольших углов cos ~ 1 и

. (7)

Угловая дисперсия обратно пропорциональна периоду решетки, и чем выше порядок дифракционного спектра, тем больше дисперсия.

Линейная дисперсия

, (8)

где – линейное расстояние на экране или фотопластинке между спектральными линиями. Линейную дисперсию можно также вычислить по формуле, гдеf – фокусное расстояние линзы.

Разрешающая способность – величина, указывающая какие спектральные линии, с малой разностью длин волн между ними, решетка еще может разрешить

R = , (9)

где – средняя длина волны разрешаемых спектральных линий;– разность длин волн двух соседних спектральных линий,m– порядок спектра,N – число щелей дифракционной решетки Для установления нижнего предела разрешения двух изображений служиткритерий Релея:

Изображение двух близлежащих одинаковых точечных источников или двух спектральных линий с равными интенсивностями и симметричными одинаковыми контурами разрешимы, если центральный максимум дифракционной картины от одного источника (линии) совпадает с первым минимумом дифракционной картины от другого.

Особый интерес представляет дифракция на трехмерных структурах, то есть пространственных образованиях, обнаруживающих периодичность по трем, не лежащим в одной плоскости направлениям. Такими структурами являются кристаллические тела. Расстояние между атомами в кристалле  10 ^-10 м. Видимое излучение по этой причине не может испытывать дифракцию на таких структурах, тогда как рентгеновское излучение, длина волны которого ( 10^–12 – 10^–8 м) соизмерима с периодом решетки, наоборот, испытывает сильную дифракцию.

Г.В. Вульф и английские ученые Г. Брэгг и Л. Брэгг предложили метод расчета дифракции рентгеновского излучения и вывели соотношение, связывающее направления дифракционных максимумов с расстоянием между кристаллическими плоскостями d. Дифракционные максимумы наблюдаются, когда оптическая разность хода лучей составляет целое число длин волн

2 dsin =  m, (m =1, 2, 3 …), (10)

где – угол скольжения рентгеновских лучей. Соотношение (10) называетсяформулой Вульфа-Брэггов.