•Представленная матрица (2) называется

матрицей коэффициентов системы

линейных уравнений (1), а матрица (3)– расширенной матрицей для исходной системы уравнений.

•Для того, чтобы получить расширенную матрицу, мы к матрице коэффициентов системы прибавляем (приписываем справа) столбец свободных элементов нашей системы (т.е. правые части). Число столбцов при этом увеличивается на единицу, а число строк остается тем же самым.

•На множестве согласованных

(одинаковых) матриц вводится операция сложения, которая обозначается символом «плюс» + и также, по аналогии с векторами, вводится операция умножения матрицы на число («точка»), т.е. задается векторное пространство

(Мp, q). Рассмотрим умножение на число.

•Пусть A = (aij) – некоторая матрица и

– произвольный скаляр, т.е. действительное число.

•Под произведением A понимается матрица ( aij), то есть при умножении матрицы A на число все элементы

матрицы A, умножаются на это число.

•Сложение. Пусть A и B – матрицы

одинаковой размерности:

•A = (aij), B = (bij). Под суммой A + B понимается матрица C = (cij) той же

размерности, каждый элемент которой определяется покомпонентным сложением по формуле: cij = aij + bij .

• Сложение матриц

•Операция сложения матриц коммутативна и ассоциативна (как для векторов).

•На множестве матриц вводится операция

умножения одной матрицы на другую. Умножению матриц отвечает композиции линейных отображений. Эта операция

чем-то напоминает скалярное умножение векторов (х1 у1 + х2 у2 +х3 у3 ).

•Нейтральным элементом при умножении является единичная матрица.

•Необходимо отметить следующее:

•произведение определяется только для

•тех матриц, для которых выполняется следующее условие:

•матрицу A можно умножить на матрицу B ( C = A B), если число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы

B.

•Каждый элемент получившейся

матрицы C определяется по формуле:

n

ci j aik bk j k 1

•т.е. элемент cij матрицы C равен сумме произведений элементов i-ой строки первой

матрицы- сомножителя на соответствующие элементы j-го столбца второй матрицы- сомножителя (скалярное произведение строки и столбца).

•Из сказанного следует, что если можно найти произведение матриц AB, то произведение BA, вообще говоря, может не

существовать( т.е умножение матриц не

коммутативно). Но умножение матриц ассоциативно (АВ)С=А(ВС). Заметим, что умножение векторов – коммутативно.

Умножение матриц

С=АВ