Векторы
•В пространстве имеется так называемый естественный или стандартный базис (о базисе ниже) из трех (единичных) векторов
e1 |
1 ; 0; 0 , |
|
uur |
0; 1 ; 0 |
, |
e2 |
||
uur |
0; 0; 1 |
. |
e3 |
||
• |
В этом случае вектор |
x |
|
Векторы
представим в виде
r |
|
x |
; x |
; x |
|
ur |
x |
uur |
x |
uur |
x |
x e |
e |
e . |
|||||||
|
1 |
2 |
3 |
1 1 |
2 |
2 |
3 |
3 |
•Эти две записи (правая и левая) можно
рассматривать как эквивалентные. Говорят, что вектор х разложим по векторам еi. Разложение вектора по базису единственно. Концепция разложения векторов на составляющие весьма полезна.
Линейная зависимость векторов
Множество векторов {an} называется линейно зависимым, если существуют коэффициенты {kn} не все равные нулю, что линейная комбинация равна нулю
k1a1 + k2a2 + k3a3=0.
Другими словами, если линейная комбинация равна нулю, но хотя бы один коэффициент отличен от нуля, то вектора линейно зависимы.
Линейная зависимость векторов
Если векторы линейно зависимы, то по крайней мере один из них линейно выражается через остальные. Подмножество векторов, не являющееся линейно зависимым, называется линейно независимым. Любое подмножество линейно
независимого множества также линейно независимо.
Пример линейно зависимых векторов
Пример. Вектора на плоскости (-1; 4) и (2; -8) линейно зависимы, т.к. их линейная( одна из многих) комбинация равна нулю:
-2 (-1; 4) - (2; -8)=0.
n-мерное векторное пространство . Базис
Совокупность n линейно независимых векторов n-мерного векторного пространства V, порождающих это пространство, называется его базисом. Существует много различных базисов. Однако все они обладают следующим свойством: любой элемент из нашего пространства V можно разложить по базису единственным способом.
•Единичным вектором является вектор, у которого длина равна единице (например, у вектора лишь одна компонента равна
единице, а остальные равны нулю).
• Вектор можно записывать в виде столбца
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
x ; x ; x |
|
T |
|
|
|
|
x . |
|||||
1 2 3 |
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
Скалярное произведение |
|
векторов |
r r |
• |
|
Векторы можно перемножать. Допустим, |
|
что у нас имеется два вектора |
aи b |
•и обозначает угол между этими векторами. Тогда число, полученное по формуле
a, b a b cos
Скалярное произведение векторов
•называют скалярным произведением
векторов и обозначают также a b или a, b . Скалярное произведение векторов является скалярной величиной. Оно может быть вычислено простым умножением модуля вектора a на проекцию вектора b на a или перемножением соответствующих компонент векторов и сложением результатов (суммирование попарных произведений):
a b a b |
a |
2 |
b |
a b . |
||
1 |
1 |
|
2 |
3 |
3 |
|
