•По этой формуле, если разность ad-bc не равна нулю (т.е. матрица А не вырождена)
обратная матрица получается из исходной заменой местами чисел a и d
относительно боковой диагонали, при одновременном изменении знака у b и c на противоположный. Вновь полученная матрица умножается на коэффициент
(ad-bc)-1 .
• Например:
|
1 |
3 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
3 |
|
|
A |
|
|
|
, A 1 |
|
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
1 2 |
1 3 |
|
|
||||
|
1 2 |
|
|
1 1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Свойства обратной матрицы
•Е-1 =Е;
•(А-1) -1 =А.
•Для получения обратной матрицы достаточно к строкам единичной матрицы применить те
преобразования, которые приводят матрицу А к единичной (метод Жордана-Гаусса).
ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ
• |
ТЕОРИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ |
•Основные понятия.
•Часто в математике желательно охарактеризовать объект, определяемый многими параметрами, с помощью одной величины. Пример такого рода – определитель. Определитель является инвариантом.
Определение детерминанта det
•Квадратной матрице А (порядка n) ставится в соответствие число,
называемое определителем или детерминантом (det), вычисляемое на основе значений ее элементов. Определитель равен алгебраической сумме всевозможных произведений его элементов, по одному из каждой строки и каждого столбца. Слагаемые называются членами определителя.
Определение детерминанта det
•Каждый член определителя равен произведению n элементов матрицы А. Число всех членов определителя n -го порядка равно n!.
Свойства определителя
•Определитель не меняется при транспонировании матрицы.
•Определитель равен нулю тогда и только
тогда, когда строки (столбцы) матрицы
линейно зависимы. Такая матрица называется вырожденной.
•Если любую строку матрицы умножить на число, то и определитель матрицы умножится на это число.
Свойства определителя
•Определитель меняет знак, если две строки поменять местами.
•!!! Определитель не меняется, если к какой-либо строке матрицы прибавить любую линейную комбинацию остальных строк.
•Если элементы строки матрицы представлены в виде суммы aij= bij+cij, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки,
кроме i–ой такие же, а i–я строка в одном из них содержит элемент bij, а в другом - cij.
Определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов.
Теорема. Определитель произведения квадратных матриц равен произведению определителей матриц- сомножителей.