Скалярное произведение векторов
•Векторы a и b называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю a b = 0. Скалярное произведение линейно.
•Скалярное произведение позволяет нам
ОПРЕДЕЛИТЬ норму (длину) вектора: |
||||
|
r |
|
|
r r |
|
|
|||
|
a |
|
a, a . |
|
|
|
|
|
|
• Косинус угла между векторами равен:
cos ar, br a
b
Скалярное произведение векторов
• Пример. Пусть заданы векторы р(a, b) и q(c, d),
тогда синус угла между ними может быть вычислен
по формуле: sin ur r ,
p q
•где - определитель, составленный из координат векторов (см. следующий слайд)
Определитель
• Определитель равен:
|
|
a |
c |
|
ad bc |
|
|
||||
|
|
b |
d |
|
|
• |
Замечание |
|
|
a |
b |
|
|||||
|
c |
d |
|||
|
|
|
Площадь параллелограмма
•Утверждение. Пусть ABCD произвольный параллелограмм, заданный векторами р(a, b) и q(c, d). Тогда площадь S
параллелограмма равна .
• В самом деле: |
|
|
ur |
|
|
|
r |
|
|
ur |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
S |
|
AB |
|
|
AD |
|
sin |
p |
|
|
|
q |
|
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p q |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Замечание. Площадь треугольника равна1/2
Равенство нулю определителя
Определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов.
Определитель треугольной матрицы
• Например.
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
|||
0 |
a22 |
a23 |
a11 a22 a33. |
0 |
0 |
a33 |
|
Рассмотрим пример нахождения определителя. Мы можем к любой строке прибавить строку. Воспользуемся этим для преобразования определителя к
• треугольному виду( из 2-й строки вычтем
1- |
|
ую): |
1 |
2 |
|
|
|
1 |
1 |
2 |
|
|
|
||||||||
|
|
1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
6 |
|
|
|
0 |
2 |
4 |
|
|
0 |
2 |
1 |
|
|
|
0 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
0 |
2 |
4 |
|
1 2 3 6. |
|
|
|||||
|
|
0 |
0 |
3 |
|
|
|
|
|
•Значение этого определителя не надо искать, т.к. его величина равна нулю(!).Третий столбец пропорционален первому.
1 |
3 |
2 |
|
|
|||
2 |
0 |
4 |
0 |
1 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАТРИЦ
•Матрица – это определенным образом представленное множество чисел. Для удобства вычислений и обращения с ними, матрицы записываются в виде таблицы. С математической точки зрения матрицы ведут себя как вектора (линейные объекты) и они образуют векторное пространство. Чтобы рассмотреть этот объект более подробно нужно обратиться к системе линейных алгебраических уравнений. Но сначала приведем основные положения.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
•Матрица состоит из элементов – чисел.
•Нулевой матрицей называется матрица, у
которой все элементы – нули. Квадратная
матрица размера n называется единичной, если все её элементы,
стоящие на главной диагонали, равны единице, а все остальные – нули. Единичная матрица, как правило, обозначается буквой E или I:
1
0
E 0
0
0 |
0 |
|
0 |
|
1 |
0 |
|
0 |
|
|
||||
0 |
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
0 |
0 |
|
|
|
1 |
||||