Линейная алгебра

•Литература

•1. Б.Ш.Гулиян, Р.Я.Хамидуллин

•Математика . Базовый курс, М. ООО

•«Маркет ДС Корпорейшн,2008.

Введение

•Линейная алгебра - это теория линейных алгебраических структур (линейных пространств, линейных отображений и т.д.). Результаты линейной алгебры, теории матриц необходимы во многих областях. Основное внимание мы будем уделять решению систем линейных уравнений со многими неизвестными.

Решение системы линейных уравнений со многими неизвестными !

•Линейная алгебра проявляет единство двух основных подходов математики- абстрактности и приложимости. Для менеджеров и экономистов это путь к линейному программированию.

• Линейность представляет весьма общее понятие. Все линейные модели, процессы и явления обладают свойствами

аддитивности и однородности. Аддитивность в математическом смысле

означает следующее: если действие х приводит к эффекту , а действие у приводит к эффекту , то совместное действие х+у приводит к совместному эффекту + .

•Однородность означает, что если х приводит к эффекту , то х+х приводит к эффекту + , т.е. в общем случае kx приводит к эффекту k .

аддитивность

линейность

однородность

•С математической точки зрения линейные модели имеют определенные преимущества, т.к. линейные задачи всегда решаются (в том смысле, что не может сложиться ситуация, когда не бывает известно имеет ли решение задача).

•Еще в 4 в. до н.э. Тамарид решал систему уравнений. Баше де Мезирак [1587-1638] предложил решение в целых числах системы с двумя уравнениями.

•Почти все линейные модели сводятся к системам алгебраических линейных уравнений или неравенств.

Модуль вектора

•Как уже упоминалось, очень важной характеристикой вектора является его длина (модуль). Модуль вектора по определению равенr(обобщенная теорема Пифагора)

x x12 x22 x32 .

•

•Числа х1, х2, х3 называются компонентами или координатами вектора.

Операции над векторами

•Мы также будем записывать вектор кратко буквой со стрелкой. На множеств векторов вводится операция сложения и умножения на скаляр (т.е. векторное пространство), которые определяются так:

не векторы. Определена также геометрическая схема сложения.

Геометрическая схема сложения векторов