Сравнение нескольких дисперсий выборок одинакового объема

Задача сравнения нескольких дисперсий наиболее часто возникает при оценке равенства случайных ошибок в нескольких опытах, у нескольких исследователей или лабораторий.

Пусть имеется nнезависимых нормально распределенных выборок с объемамиm₁, m₂, m₃, ...., m_j,...., m_nи соответствующими им дисперсиями….….,.

Если объемы выборок одинаковы m₁ = m₂ = m₃ = ....= m_j = m_n = m, то для сравнения дисперсий можно использовать критерий КохренаG[4]. С этой целью сначала вычисляют расчетное значениеG_p:

,

где – максимальная дисперсия.

Затем по распределению Кохрена в зависимости от значений G_p числа сравниваемых дисперсийnи степени свободыf =m–1 рассчитывают соответствующую им доверительную вероятностьРвывода о равенстве дисперсий либо для заданной вероятности и величиныfпо табличным данным [4] определяют значение критерия Кохрена (G_Т). Если рассчитанное значениеG_pпревосходит определенноеG_Т(G_p > G_Т), то с доверительной вероятностью можно считать дисперсии различными (неоднородными). В противном случае (G_p ≤ G_Т) для заданной доверительной вероятности можно предположить, что дисперсии равны (однородны).

Пример. В задании 4 варианта 5 методических рекомендаций [6] приведены результаты исследования влияния содержания пластификатора в резине на ее степень набухания. Влияет ли содержание пластификатора в резине на величину случайных ошибок измерения ее степени набухания?

Для ответа на этот вопрос рассчитаем выборочные дисперсии единичных значений степени набухания резины при различном содержании в ней пластификатора (для различных опытов с 1-го по 5-й):

(% мас.)²;

(% мас.)²;

(% мас.)²; (% мас.)²; (% мас.)².

Поскольку в каждом опыте проводилось одинаковое число повторных измерений степени набухания резины (m = 3), то для сравнения дисперсий можно воспользоваться критерием Кохрена.

Максимальной по величине дисперсией является дисперсия четвертого опыта. Рассчитаем значение G_p:

.

Для вероятности Р = 0,95 и величины f =3–1 = 2 в табл. А.1 прил. А находим значение критерия Кохрена G_Т = 0,6838. Так как G_p < G_Т (0,5091 < < 0,6838), то с вероятностью 0,95 можно считать, что все пять дисперсий равны друг другу (однородны). Исходя из этого вывода выборочная дисперсия единичных значений степени набухания резины всех опытов эксперимента () со степенью свободы f_эксп. = n(m–1) = 10 будет равна среднему арифметическому значению всех дисперсий [4 ]:

(% мас.)²_.

Сравнение двух средних

Для сравнения между собой средних арифметических значений (средних) двух нормально распределенных выборок с однородными дисперсиями можно использовать распределение Стьюдента. Сравнение средних – это довольно часто возникающая необходимость при арбитраже результатов измерений (например, при спорах о показателях продукции между производителем и потребителем) для подтверждения достоверности выводов об изменении свойств объекта.

Для статистической проверки равенства двух средних (например ииз вышеприведенных выборокa_iиb_i) рассчитаем параметрt*по следующим формулам [4-6]:

; .

Затем по распределению Стьюдента [4] в зависимости от значений t* и степени свободы f* = n₁ + n₂ – 2 рассчитывают доверительную вероятность Р вывода о равенстве средних, либо для заданной вероятности определяют значение критерия Стьюдента (t_Т). При использовании табличной формы распределения Стьюдента в качестве f используют степень свободы f*.

Если рассчитанное значение t*превосходит определенноеt_Т(t* > t_Т), то с доверительной вероятностью можно считать средние различными. В противном случае (t* ≤ t_Т) для заданной доверительной вероятности можно предположить, что средние равны.

Пример [5]. Два аналитика (А и В), проводя анализ сплава на содержание бериллия одинаковым методом, получили следующие результаты:

Аналитики	Статистические параметры измерений
	Число параллельных анализов, n	Средний результат, , %	Выборочное абсолютное стандартное отклонение единичных значений, Sх, %
А	4	7,44	0,11
В	5	7,32	0,13

Есть ли расхождение средних результатов у двух аналитиков для доверительной вероятности Р=0,95 ?

Для ответа на этот вопрос выполним следующие процедуры. Из-за небольшого объема выборок n_a и n_b не будем определять закон их распределения, а сделаем допущение, что они подчиняются нормальному закону распределения.

Для проверки однородности дисперсий в этих выборках определим следующие параметры:

; F_{Т(Р=0,95; f1=4;f2 =3)} = 9,1.

Так как F_Р < F_Т (1,4 < 9,1), то следует считать сравниваемые дисперсии однородными и поэтому можно рассчитать значение выборочного средневзвешенного абсолютного стандартного отклонения S_ab:

.

Вычислим параметр t*:

Из табл. А.2 прил. А выбираем табличное значение квантиля распределения Стьюдента (t_Т) для f_ab = n_a + n_b – 2 = 7 и заданной вероятности Р = 0,95 (α = 0,05). Этот квантиль имеет значение t_Т = 2,37. Так как t* < t_Т (1,5 < 2,37), то средние результаты анализа сплава, полученные двумя аналитиками, следует считать одинаковыми.

В заключение данной темы еще раз отмечу, что большинство научных, технических, технологических, экологических и других проблем и задач невозможно решить без проведения эмпирических научных исследований, в том числе проведения измерений. Знания и практические навыки в области метрологии (наука об измерениях) определяют уровень профессиональной культуры специалиста с высшим образованием. Так как любые результаты измерений являются случайными величинами (из-за невозможности исключения ошибок измерения), то подход к ним должен основываться на методах математической статистики и теории вероятности.

Спецификой измерений в химии и химической технологии можно считать малое число, а иногда и отсутствие повторных (параллельных, кратных) измерений, что затрудняет точную оценку погрешностей, проведение анализа и выбор формы представления конечных результатов измерений.