Примеры статистической оценки результатов наблюдений и экспериментов Сравнение двух дисперсий

При обработке результатов наблюдений и измерений часто возникает необходимость сравнения выборочных дисперсий единичных значений двух выборок ис объемамиn₁иn₂, соответственно. Основная статистическая гипотеза, которая при этом проверяется, – можно ли считать сравниваемые дисперсии равными друг другу (однородными). Если сравниваемые дисперсии однородны, то можно делать вывод о равенстве случайных ошибок в двух выборках или об одинаковой воспроизводимости измерений в них. Метод сравнения двух дисперсий используется для сопоставления случайных ошибок двух методов измерения, средств измерения, исследователей, лабораторий.

Рассмотрим две выборки:

а₁, а₂, а₃, ...... а_i. ....., а_n1 ;

b₁, b₂, b₃, ......b_i,......, b_n2.

Выборочные дисперсии единичных значений для них рассчитываются по формулам

; .

Данные дисперсии определяются со степенями свободы f, которые являются знаменателями в формулах для расчета соответствующих дисперсий:

f_a = n₁ – 1 иf_b = n₂ – 1.

Для статистической проверки равенства двух дисперсий выбирают максимальную и минимальнуюпо величине дисперсию и рассчитывают F-соотношение (F_p) по следующей формуле:

.

Затем по распределению Фишера в зависимости от значений F_p, степеней свободыf_a иf_bрассчитывают соответствующую им доверительную вероятностьРвывода о равенстве дисперсий, либо для заданной вероятности определяют значение критерия Фишера (F_Т). При использовании табличной формы распределения Фишера в качествеf₁используют степень свободы максимальной по величине дисперсии, а в качествеf₂ – степень свободы минимальной дисперсии.

Если рассчитанное значение F_pпревосходит определенноеF_Т (F_p > F_Т), то с доверительной вероятностью можно считать дисперсии различными (неоднородными). В противном случае (F_p ≤ F_Т) для заданной доверительной вероятности можно предположить, что дисперсии равны (однородны).

Пример [5]. Для изучения воспроизводимости работы рН-метра в кислой и щелочной областях проведены измерения рН в шести порциях буферного раствора I (х) и пяти порциях буферного раствора II (y) и получены следующие результаты:

Номер раствора	Значение рН раствора в порции
	1	2	3	4	5	6
I	3,82	3,86	3,83	3,80	3,81	3,86
II	9,18	9,13	9,15	9,18	9,16

Можно ли считать случайные ошибки при работе рН-метра в кислой и щелочной средах одинаковыми?

Для ответа на этот вопрос рассчитаем выборочные дисперсии единичных значений рН для двух растворов:

; .

Составим F-отношение максимальной дисперсии к минимальной:

.

В табл. А.3 прил. А выбираем значение квантиля распределения Фишера (F_Т) для f₁ = f_x = 6–1, f₂ = f_y = 5–1 и Р = 0,95. При вероятности 0,95 (соответствующий ей уровень значимости α = 1–Р = 1–0,95 = 0,05) для f₁ = 5 и f₂ = 4 квантиль распределения Фишера имеет значение F_Т = 6,3. Так как F_Р < F_Т (0,142 < 6,3), то следует считать сравниваемые дисперсии равными, то есть случайные ошибки одинаковыми при работе рН-метра в кислой и щелочной средах, а результаты измерений воспроизводимыми.