Тема 4 выбор и составление плана эксперимента

Экспериментальные исследования (эксперимент) в различных отраслях науки состоят из следующих обязательных элементов, выполняемых в следующей последовательности:

Целями экспериментамогут быть:

- исследование процессов, происходящих в исследуемом объекте;

- определение характеристик объекта;

- проверка результатов теоретического исследования;

- получение исходных данных для теоретических исследований и др.

Планирование эксперимента подразделяют на две части: методическую и организационную.

В методической части составляют, анализируют план и методику проведения эксперимента, выбирают средства измерения, экспериментальные образцы, материалы, установки, исследователей.

В организационной части решают вопросы материально-технического обеспечения эксперимента (подготовку к работе средств измерения, установок, исследователей и др.).

Выбор плана эксперимента зависит от:

- целей и задач НИР и эксперимента;

- методов анализа результатов эксперимента, которые планируется применить;

- объема имеющихся материальных ресурсов (финансовых, человеческих и др.);

- временных ресурсов (ограничений на время научных исследований); - других факторов.

С особенностями планирования и анализа результатов экспериментальных исследований при создании новых объектов техники можно познакомиться самостоятельно по литературе [10].

Я вас буду знакомить с планированием и анализом результатов эксперимента на примере создания новых веществ, материалов, разработки новых технологий.

Наиболее часто при выполнении НИР целью экспериментальных исследований является получение математической модели объекта. Математическую модель объекта представляют в виде математической зависимости свойства изучаемого объекта (условно обозначим егоy) от значений факторов (x_j), влияющих на эти свойства:

y=(x₁,x₂, ...,x_j, ...x_k) +,

где – величина, не зависящая отx_j(назовем ее случайной величиной).

Выбор плана эксперимента зависит от того, какой вид зависимости  вы желаете получить: качественный или количественный.

Зависимость являетсякачественной, если она выражается словами, например: "x_jвлияет наy", " увеличениеx_jуменьшает значениеy" и др.

Зависимость являетсяколичественной, если она представляет собой математическое выражение.

Так как результаты измерений значений x_jиyявляются случайными величинами, то для установления зависимостинеобходимо использовать соответствующие методы математической статистики.

Для получения качественной зависимости наиболее часто используют методы корреляционного и дисперсионного анализов, для получения количественной зависимости – метод регрессионного анализа. Существуют и другие статистические методы анализа: ковариационный, кластерный, факторный анализ и др.

Планирование эксперимента для применения корреляционного анализа Общие положения корреляционного анализа

Корреляционный анализ – это один из наиболее простых методов математической статистики, позволяющий качественно предсказывать изменения yпри изменяющихся значенияхx_j(устанавливать связь между этими случайными величинами).

Если каждому значению x_jсоответствует всегда строго определенное значениеy, то считают, что между этими величинами существует функциональная связь, т.е. зависимостьявляется функциональной. При наличии и знании такой связи можно точно предсказывать величинуy, задавая конкретное значениеx_j.

Однако на практике функциональные связи обнаруживаются очень редко, поскольку на все результаты измерений оказывают влияние различные случайные факторы.

В большинстве случаев, задавая конкретное значение x_j, можно предсказать лишь тенденцию измененияy. Эта тенденция обнаруживается лишь при достаточно большом числеm_jразличных значений (уровней) изменяемого фактораx_j, а при малых величинахm_jданная тенденция может не наблюдаться (рис. 3).

Рис. 3 – Влияние числа значений

х (m) на тенденцию измененияy:

1 – тенденция изменения yприm= 8,

2 – тенденция изменения yприm= 3

Связь между yиx, представленная на рис. 3, называется корреляционной (стохастической). Чем больше корреляционная связь соответствует функциональной связи, тем более тесной (сильной) она считается.

Корреляционная связь имеет два крайних предельных случая: функциональная связь (самая тесная зависимость yотx_j) и полное отсутствие связи (отсутствие влиянияx_jнаy).

Наличие между yиx_jкорреляционной или функциональной связи устанавливается только в результате проведения корреляционного анализа.

При корреляционном анализе отражают следующие выводы в форме слов:

1. наличие связи между yиx_j("есть" или "нет" и др.);

2. характер связи ("функциональная" или "корреляционная") и ее тип ("линейная", "нелинейная", "экспоненциальная", "параболическая", "синусоидальная" и др.);

3. знак связи: "положительная" – если с увеличением величины значений x_jрастет величинаy; "отрицательная" – если с уменьшением величины значенийx_jснижается величинаy;

4. теснота (сила) корреляционной связи ("очень тесная", "тесная", "не очень тесная", "очень сильная", "сильная", "слабая" и др.).

Корреляционный анализ проводят двумя методами: анализируя поле корреляции (визуальный анализ) и анализируя коэффициенты линейной корреляции.

Анализ поля корреляции.Полем корреляции называют выполненный на плоскости в системе двух прямоугольных координат y и х рисунок (график), на котором приведены точки с координатами y_v и x_v (у – номер уровня фактора х от 1 до m). Пример поля корреляции одного свойства объекта (y) и одного фактора (х) приведен на рис. 4.

Рис. 4 – Поле корреляции выхода

пентозанов к времени гидролиза

березовых опилок

Анализ поля корреляции проводится визуально. Для облегчения анализа рекомендуется весь массив точек с координатами y_vи x_v(на рис. 4 приведены точки с координатамиy₁их₁,y₂их₂,y₃их₃, ...,y_vих_v, ...,y₈их₈) обвести замкнутым контуром. Характер этого контура помогает более точно сделать все выводы корреляционного анализа. Например, чем больше контур приближается к форме окружности, тем выше вероятность отсутствия связи междуyиx.

Метод анализа поля корреляции не является достаточно точным в основном из-за влияния на вид поля корреляции выбранного масштаба координатных осей yиx. Однако при корреляционном анализе – это единственный метод определения характера нелинейной связи междуyих.

Анализ выборочного коэффициента линейной корреляции. Этот метод является более точным при установлении линейной корреляции между двумя случайными величинами, так как он основан не на визуальном восприятии графического представления случайных чисел, а на математических расчетах и постулатах.

Рассмотрим самый простой случай: корреляцию между двумя случайными величинами yих.

Присвоим каждой точке на поле корреляции свой номер i(такой же номер будет и у взаимосвязанной пары координат этой точки). ОбозначимNобщее число точек с координатамиy_iиx_i. Тогда выборочный коэффициент парной корреляции можно рассчитать по формуле

,

гдеy– общее среднее арифметическое значениеy;x– общее среднее арифметическое значениех;S_xиS_y – выборочные абсолютные стандартные отклоненияхиy, соответственно (эти параметры используются как характеристики рассеивания единичных значений хиyотносительно их общих средних арифметических значений).

Общие средние арифметические значения находят по формулам

; .

Выборочные абсолютные стандартные отклонения хиyможно рассчитать следующим образом:

; .

Выборочный коэффициент парной корреляции имеет следующие свойства:

1. ;

2. величина r_yxне изменяется при изменении начала отсчета величин, а также масштаба координатных осейyи х;

3. в величине r_yxодновременно заложена доля случайности и нелинейности связи междуyих.

По величине и знаку r_yxможно сделать большинство выводов корреляционного анализа (табл. 5). Однако выводы корреляционного анализа можно делать только после доказательств равенства или отличия от нуля рассчитанного значенияr_yxметодами математической статистики (так называемая статистическая проверка нуль-гипотезы). С методами проверки нуль-гипотезыr_yxпознакомьтесь самостоятельно в [3,4,6].

Таблица 5

Выводы корреляционного анализа в зависимости от значения r_yx

Выводы корреляционного анализа	Значения ryx
1. Наличие связи между y и xj:
есть линейная зависимость между y и x с вероятностью Р	0 < |ryx | ≤ 1
нет линейной зависимости между y и x с вероятностью Р	ryx = 0
есть нелинейная зависимость между y и x (при наличии доказательств в анализе поля корреляции)	ryx = 0
нет зависимости между y и x (при наличии доказательств в анализе поля корреляции)	ryx = 0
2. Характер и тип связи: функциональная линейная	|ryx| = 1
корреляционная линейная	0 < |ryx | < 1
3. Знак связи: положительный	ryx >0
отрицательный	ryx <0
4. Теснота (сила) линейной корреляционной связи	Определяется близостью к единице модуля ryx и величиной N по усмотрению исследователя

Как следует из табл. 5, значение r_yxпозволяет сделать все выводы только в случае линейной связиyих. При нелинейных связяхyихдля формулировки остальных выводов нужно анализировать только поле корреляции. Совместный анализr_yxи поля корреляции необходим в случае, когдаr_yx= 0 (r_yxявляется "незначимым"). Нулевое значениеr_yxдоказывает отсутствие только линейной связи междуyих, но ни в коем случае не опровергает влиянияхнаy.

Более сложные случаи корреляционного анализа возникают при влиянии на случайную величину (y) нескольких случайных величин (х₁,х₂, ...x_j). В такой ситуации анализируют выборочные коэффициенты частной и множественной корреляции. Анализ частных и множественных коэффициентов корреляции позволяет разобраться в ситуации, когда один из факторовx_j не оказывает непосредственного влияния наy, хотя их парный коэффициент корреляции отличен от нуля.

Более подробно с особенностями проведения корреляционного анализа познакомьтесь самостоятельно в [3, 4].