Характеристика результатов измерений как случайных величин
Под случайной величиной понимают величину, принимающую значение, которое нельзя точно предсказать (классический пример – числовое значение, появляющееся на верхней грани игрового кубика). Случайная величина имеет набордопустимых значений, но в каждом конкретном случае принимает только одно значение из этого набора. Это значение может быть различным при попытке повторения из-за действия случайных (неизвестных или неконтролируемых) факторов. Набор допустимых значений недостаточен для полной характеристики случайной величины. Необходимо еще указывать вероятность (частоту появления) каждого конкретного значения из этого набора.
Наиболее полной характеристикой любой случайной величины (в том числе и результата измерения) является закон ее распределения. Закон распределения случайной величины– это соотношения между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностям. Закон распределения случайной величины может быть представленграфически, в виде таблицы и математической функции (интегральная или дифференциальная функция распределения), из которых можно определить вероятность (Р) появления конкретных значений случайной величины.
Различают дискретные и непрерывныеслучайные величины. Примером случайной дискретной величины может быть число студентов, присутствующих на лекции (это число, которое может принимать только целочисленное значение, кратное единице). Примером непрерывной случайной величины является масса тела человека, которая может принимать любое значение.
Известно много функций распределения случайных величин. Наиболее часто для непрерывных величин встречаются экспоненциальное и нормальное распределение (распределение Гаусса). На нормальном распределении базируются распределения хи-квадрат (Пирсона), Стьюдента, Фишера и др.
Для дискретных величин может наблюдаться биномиальное распределение, распределение Пуассона и др.
Математические выражения функций распределения имеют достаточно сложный вид. На практике наиболее часто пользуются табличными и графическими формами функций распределения.
Знание закона распределения позволяет также рассчитать некоторые статистические параметры результата измерения как случайной величины используя методы математической статистики. Некоторые параметры и формулы их расчета представлены в табл. 1.
Таблица 1
Параметры результатов измерений и их характеристика
|
Название |
Условное обозначение |
Расчетная формула |
Краткая характеристика |
|
Единичный результат измерения |
yi |
- |
Результат одного измерения |
|
Выборка единичных результатов измерений |
Yn |
- |
Конечный ряд единичных результатов измерений (y1, y2, y3, ..., yi , ..., yn) |
Продолжение табл. 1
|
Название |
Условное обозначение |
Расчетная формула |
Краткая характеристика |
|
Генеральная совокупность результатов измерений |
Y |
- |
Бесконечный ряд единичных результатов измерений (y1, y2, y3, ..., yi , ...,yn..., y) |
|
Объем выборки результатов измерений |
n |
- |
Число единичных (повторных) результатов измерений (число членов в ряду Yn) |
|
Среднее арифметическое значение результатов измерений |
y |
|
Один из параметров, наиболее точно оценивающий истинное значение результата измерения |
|
Выборочная дисперсия единичных результатов измерений |
|
|
Параметр, характеризующий рассеивание (разброс) единичных результатов относительно среднего арифметического результата измерения |
|
Генеральная дисперсия единичных результатов измерения |
|
- |
Параметр, характеризующий рассеивание (разброс) единичных результатов относительного истинного результата измерения |
|
Выборочное среднее квадратическое (абсолютное стандартное) отклонение единичного результата измерения |
|
|
То же (в единицах измерения yi) |
|
Выборочное относительное стандартное отклонение единичного результата измерения |
|
|
То же (в долях величины y) |
Окончание табл. 1
|
Название |
Условное обозначение |
Расчетная формула |
Краткая характеристика |
|
Выборочная дисперсия среднего арифметического результата измерения |
|
|
Параметр, характеризующий рассеивание (разброс) средних арифметических результатов измерений относительного истинного результата измерения |
|
Выборочное среднее квадратическое (абсолютное стандартное) отклонение среднего арифметического результата измерения |
|
|
Параметр, характеризующий рассеивание (разброс) средних арифметических результатов измерений относительного истинного результата измерения (в единицах измерения yi) |
|
Выборочное относительное стандартное отклонение среднего арифметического результата измерения |
|
|
То же (в долях величины y) |
|
Вероятность получения результата измерения |
Р |
|
При большой величине n величина вероятности Р приближается к частоте получения данного результата измерения yi, т.е. отношению числа yi (mj) в выборке к общему числу измерений |
|
Уровень значимости (ошибки) при получении результата измерения |
|
= 1-Р |
При большой величине n величина приближается к частоте получения результатов измерений, не равных yi |
