6. Примеры статистическиой оценки результатов наблюдений и экспериментов

6.1. Поиск грубых ошибок в выборках малого объема по критерию q

Рассмотрим случай, когда число параллельных измерений более двух, но меньше девяти (2 < n < 9).

Статистическим критерием для выяв­ления грубых ошибок в малой выборке может слу­жить критерий Q [3].

Статистическую проверку начинают с расчета параметра Q_p:

,

где y_n – крайний левый или правый член вариационного ряда, построенного в порядке возрастания или убывания значений, «подозреваемый» на грубую ошибку;

y_n-1 - член вариационного ряда, соседний с «подозреваемым» значением; R - размах вариационного ряда, т.е. раз­ность между значениями крайних членов вариационного ряда (R = |y_n - y₁|).

Затем в зависимости от объема выборки (n) и заданной (или выбранной) доверительной вероятности (Р) из табл. 6.1 определяют значение критерия Q (Q_Т).

Таблица 6.1. - Значения критерия Q для различных значений доверительной вероятности

Объем выборки п	Доверительная вероятность Р
	0,90	0,95	0,99
3	0,89	0,94	0,99
4	0,68	0,77	0,89
5	0,56	0,64	0,76
6	0,48	0,56	0,70
7	0,43	0,51	0,64
8	0,40	0,48	0,68

Если рассчитанное значение Q_p превосходит определенное по табл. 6.1 (Q_p > Q_Т), то «подозреваемый» результат y_n можно считать грубой ошибкой с вероятностью, равной доверительной. В противном случае (Q_p ≤ Q_Т) можно предположить, что для заданной вероятности грубые ошибки в выборке отсутствуют.

Пример [3]. При измерении расхода азота в полупромышленной установке (х) были получены следующие единичные результаты (м³/ч):1,17; 1,23; 1,35; 1,20; 1,21; 1,43; 1,73; 1,30.

Так как для данной выборки n < 9 (n = 8), то для обнаружения грубых ошибок используем критерий Q. Единичные результаты измерений представим в виде вариационного ряда с возрастающими величинами расхода азота (м³/ч): 1,17; 1,20; 1,21; 1,23; 1,30; 1,35; 1,43; 1,73. Проверим на промахи правый крайний член этого ряда (х₈), который кажется аномальным:

1. Проверяемый результат (х₈) - 1,73 м³/ч.

Тогда результат, соседний с проверяемым (х_8-1) - 1,43 м³/ч, а размах выборки равен R = х₈ – х₁ = 1,73 - 1,17 = 0,560 м³/ч . Рассчитаем Q_Р:

Из данных табл. 6.1 выбираем табличное значение Q-кри­терия (Q_Т) для n = 8 и Р = 0,95 (принимаем наиболее часто задаваемое значение вероятности в химии и химической технологии). При вероятности 0,95 для данной выборки Q_Т = 0,48. Так как Q_Р > Q_Т (0,536 > 0,48), то проверяемый результат (1,73 м³/ч) следует считать грубой ошибкой измерения.

Принимаем результат 1,73 м³/ч за грубую ошибку и исключим его из выборки. После исключения этого результата вариационный ряд примет следующий вид: 1,17; 1,20; 1,21; 1,23; 1,30; 1,35; 1,43 м³/ч. Проверим на грубую ошибку крайний правый член этого ряда (х₇).

2. Проверяемый результат (х₇) - 1,43 м³/ч.

Результат, соседний с проверяемым (х₆), - 1,35 м³/ч. Рассчитаем Q_Р для данного «подозрительного» члена вариационного ряда:

Из данных табл. 6.1 выбираем табличное значение Q-кри­терия (Q_Т) для n = 7 и Р = 0,95. При вероятности 0,95 для данной выборки Q_Т = 0,51. Так как Q_Р < Q_Т (0,308 < 0,51), то проверяемый результат (1,43 м³/ч) не следует считать грубой ошибкой измерения.

Крайний левый член вариационного ряда (х₁ = 1,17 м³/ч) не является «подозрительным», так как для него различие с «соседом» (|х₁-х₂|) еще меньше, чем для пары х₇ и х₆ и, несомненно, будет обеспечено неравенство Q_Р < Q_Т.

Принимаем окончательное решение, что в выборке расхода азота 1,17; 1,20; 1,21; 1,23; 1,30; 1,35; 1,43 м³/ч, грубых ошибок измерений нет.