Закон нормального распределения. 2.04
Наиболее важным законом распределения непрерывных случайных величин является закон нормального распределения (закон Гаусса). Главная особенность этого закона заключается в том, что ему подчиняются многие случайные величины и к нему приближаются другие законы распределений при увеличении числа испытаний.
Закон нормального распределения обладает следующими свойствами:
а) плотность нормального распределения выражается формулой:
,
где хм.о.— математическое ожидание случайной величины,
— стандартное отклонение случайной величины;
б) закон нормального распределения полностью характеризуется математическим ожиданием случайной величины и ее стандартным отклонением;
в) вероятность попадания значений случайной величины хв интервал [a,b] определяется интегралом:
г) вероятность случайной величины максимальна в точке, соответствующей математическому ожиданию случайной величины х.
д) вероятность случайной величины изменяется симметрично относительно точки, соответствующей математическому ожиданию случайной величины х;
е) при неограниченном стремлении значений случайной величины х к±∞ вероятность случайной величины стремится к нулю;
ж) график закона нормального распределения:
имеет характерную форму колокола;
расположен выше оси 0Х,
симметричен относительно вертикальной оси, проходящей через точку, соответствующую математическому ожиданию случайной величины х;
имеет левую и правую ветви асимптотически (то есть постоянно и неуклонно) приближающиеся к оси 0Х, но никогда ее не пересекающие.
Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал [a,b] равна площади заштрихованной криволинейной трапеции на графике закона нормального распределения:
В практических вычислениях удобно пользоваться функцией ExcelНОРМРАСП, которая рассчитывает вероятность того, что значение непрерывной случайной величины будет меньше (не больше) аргументах:
НОРМРАСП(х; среднее; станд. отклонение; 1),
х: верхняя граница интервала (–∞;х) значений случайной величины;
среднее: математическое ожидание (среднее значение) случайной величины;
станд. отклонение: стандартное отклонение случайной величины.
Последний параметр принимаем равным 1, так как будем рассматривать только данный вариант функции.
Пример 1. Средняя цена акций фирмы Аравна 1100 руб., стандартное отклонение цены — 250 руб. Предполагая, что цена акций подчиняется нормальному закону, определите:
какой процент акций дешевле 700 руб.?
какой процент акций дороже 1600 руб.?
Решение.
1) Формула имеет вид:
= НОРМРАСП(700; 1100; 250; 1)=0.055=5,5%.
Ответ: приблизительно 5,5% акций дешевле 700 руб.
2) Формула имеет вид:
= 1 – НОРМРАСП(1600; 1100; 250; 1)= =1 – 0.977=0.023=2,3%.
Ответ: приблизительно 2,3% акций дороже 1600 руб.
Задача 1. Вероятность заказа рекламных плакатов в зависимости от их размера изменяется по нормальному закону.
Средний, наиболее часто заказываемый размер — 200 см. Стандартное отклонение размеров — 50 см. Определить вероятность заказа рекламных плакатов размером от 150 до 250 см.
Решение:
= НОРМРАСП(250;200;50;1) – НОРМРАСП(150;200;50;1)=0,68.
Ответ: 68%.
Задача 2. Согласно статистическим наблюдениям рейтинг кандидата в президенты изменяется по нормальному закону. Средний рейтинг составляет 80 баллов со стандартным отклонением 20. Чему равна вероятность того, что рейтинг кандидата будет меньше 50 баллов?
Решение: = НОРМРАСП(50;80;20;1).
Ответ: 7%
Задача 3. По статистическим наблюдениям, число поступивших в университет изменяется по нормальному закону. В среднем при поступлении в университет вступительные экзамены сдают 25% поступающих. Стандартное отклонение числа поступивших — 20 чел. Чему равняется вероятность, что из 2100 абитуриентов не менее 500 поступят в университет?
Решение: = 1 – НОРМРАСП(500;2100 · 0,25;20;1)=0,89.
Ответ: 89%.