Вопросы

1. Что такое случайное событие? Назовите примеры достоверных и невозможных событий.

2. Что такое вероятность? В каких пределах может изменяться значение вероятности?

3. Значение вероятности какого события больше: более вероятного или менее вероятного? Назовите вероятность достоверного и невозможного события.

2. Правила вычисления вероятностей. Де-1.2/2.02, 08

При вычислении вероятностей сложных событий, которые состоят из нескольких элементарных, применяют правила сложения и умножения вероятностей.

Вероятности несовместных событий. 2.08

Если появление одного из событий исключает появление других, то такие события называются несовместными.

Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий или А, илиВ, илиСвычисляется по формуле:

Полной группой событийназывают события, одно и только одно из которых должно обязательно произойти. Поэтому вероятность появления одного из полной группы событийА₁,А₂, …,А_nравна 1.

где А₁,А₂, …,А_n — полная группа событий.

Пример 1. Студент Иванов планирует обязательно провести свой летний отпуск с равной вероятностью или в деревне, или в горах, или на берегу моря, или на даче. С какой вероятностью Иванов поедет или в горы, или на море?

Решение. Поездки в деревню (событие А), в горы (событиеВ), на море (событиеС) или на дачу (событиеD) — будем считать равновероятными несовместными событиями.

Так как события А,В,С,Dобразуют полную группу событий, то можно записать:

.

Поездки в перечисленные места по условию равновероятны, поэтому

Пользуясь формулой вычисления вероятностей несовместных событий ВиС, получим:

.

Задача 1. Вероятность отказа компьютера при эксплуатации сроком до одного года равна 0,1, при эксплуатации сроком от одного года до 2 лет равна 0,2, от 2 до 3 лет — 0,3. Найти вероятность выхода из строя компьютера при эксплуатации сроком до 3 лет.

Ответ: 0,1 +0,2+0,3=0,6.

Вероятности противоположных событий

Противоположныминазываются два единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно из них обозначается черезА, то другое принято обозначатьнеА. Вероятности противоположных событий связаны очевидным соотношением:

.

Пример 1. В пачке лотерейных билетов 0,5% — выигрышных, а остальные, следовательно, невыигрышные. Найти вероятность выбрать наугад невыигрышный билет.

Решение. Выбрать выигрышный и невыигрышный билет — это противоположные события. Поэтому вероятность выбрать наугад невыигрышный билет вычисляется по формуле:

Р(невыигрыш)=1 – Р(выигрыш)=1 – 0,005=0,995=99,5%.

Задача 1. Студент устраивается на работу. Кроме него на 3 места имеется 8 претендентов. С какой вероятностью студенту нужно будет искать другую работу?

Ответ: 1 – 3/9=6/9.

Задача 2. Капитал акционерного общества образован акциями сталелитейных заводов (25%), авиапромышленности (10%), фармацевтической промышленности (15%), шоу-бизнеса (25%), и остальной капитал вложен в туристический бизнес. С какой вероятностью случайно выбранная акция окажется приобретенной у фирмы, которая занята в сфере туризма или шоу-бизнеса?

Ответ: 1 – 0,25 – 0,1 – 0,15=0,5.

Вероятности совместных событий. 2.08

Совместными событияминазываются такие случайные события, появление которых не исключает появление других событий.

Совместные события бывают зависимыми и независимыми. События называют независимыми, если появление одних не меняет вероятности наступления других событий. В противном случает события называютсязависимыми.

Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных независимых событий АилиВ(илиА, илиВ, илиАиВвместе) вычисляется по формуле:

.

Пример 1. Две фирмы готовят к выставке по одной новой модели автомобиля. Вероятность успешной подготовки модели первой фирмой равна 0,9, а второй — 0,7. С какой вероятностью на рынке появится (хотя бы одна) новая модель?

Решение. События (появление новых моделей) совместны и независимы. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных независимых событий находится по формуле:

.

Задача 1. Вероятность, что предприниматель заключит контракт: в городе А— 0,9, в городеВ— 0,8. Чему равняется вероятность, что предприниматель заключит контракт хотя бы в одном из этих городов?

Ответ: 0,9 + 0,8 – 0,9 · 0,8=0,998.

Для вычисления вероятности появления хотя бы одного из нескольких совместных независимых событий А₁,А₂, …,А_n(могут наступать либо все события, либо часть из них) используют формулу:

.

Пример 2. Три охотника стреляют в цель. Вероятность попадания каждого — Р(А)=0,7. С какой вероятностью в цель попадет хотя бы один охотник?

Решение. Используем противоположное событие: охотник не попадет в цель Р(неА)=1 – 0,7. Три охотника не попадут в цель с вероятностьюР =(1 – 0,7) · (1 – 0,7) · (1 – 0,7). Следовательно, хотя бы один из охотников попадет в цель с вероятностью

.

Задача 2. Консультационная фирма рассылает предложения своим клиентам. По оценке руководства, фирма не получит ни одного ответа с вероятностью 0,3. С какой вероятностью фирма получит ответ хотя бы от одного клиента?

Ответ: Р(А)=1 – 0,3=0,7.

Вероятность появления двух совместныхнезависимых событий, когда должно произойтиисобытиеА,исобытиеВ,вычисляется по формуле:

.

Пример 3. Бросают две игральные кости. Найти вероятность, что выпадут две «шестерки».

Решение. Выпадение «шестерок» — независимые события. Вероятность, что выпадет одна «шестерка» на любой из костей Р(А)=Р(В)=1/6. Вероятность совместного появления двух независимых событийР(АВ)=Р(А)Р(В)=1/6 · 1/6=1/36.

Задача 3. Опрос молодежи, покупающей аудиокомпакт-диски, показал, что 10% приобретают диски группы «АВВА», 15% берут диски группы «ВАВА». С какой вероятностью случайный молодой человек приобретет диски обеих групп?

Ответ: 0,1 · 0,15 =0,015.