ЛЕКЦИЯ 21 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕОРИИ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА

1. Основные понятия и определения

При изучении процессов обычно поочередно изменяется каждый фактор до определения частного максимума при постоянном значении всех прочих факторов. Число опытов, необходимое для отыскания оптимальных условий процесса, зависит от числа факторов, взаимного влияния факторов друг на друга и числа вариаций каждого из них. Минимальное число опытов позволяет предположить, что взаимодействие факторов отсутствует. Максимальное число опытов позволяет предположить, что оптимальное значение любого фактора будет существенно изменяться в зависимости от сочетания всех остальных. Методы планирования экспериментов основаны на одновременном изменении многих факторов, причем эти планы допускают такую последующую обработку данных, которая позволяет выделить влияние каждого отдельного фактора и их взаимодействия на изменение выходных параметров процесса, т. е. получить математическую модель в заданной области экспериментирования.

Применение этих методов возможно при следующих ограничивающих условиях:

•существует выходной параметр (функция цели) процесса, количественно определяющий его эффективность (возможно при ограничениях, накладываемых на другие выходные параметры);

•функция отклика непрерывна, т. е. при изменении значений факторов функция цели изменяется непрерывно;

•функция отклика одноэкстремальна, т. е. существует одно оптимальное соотношение факторов, при котором функция цели имеет максимальное (минимальное) значение;

•известны все факторы, существенно влияющие на процесс, а факторы, планируемые в эксперименте, управляемы, т. е. можно изменять их значение по заранее составленному плану;

•результаты опытов воспроизводимы. Ошибка воспроизводимости существенно меньше изменения выходного параметра под влиянием заданного изменения значений факторов.

Приведенные методы позволяют при значительном сокращении числа опытов получить относительно большую информацию. Существенно, что эту информацию легко представить в более компактном виде — в виде уравнения регрессии, которое можно не только интерпретировать геометрически, но и проанализировать.

Пусть на процесс влияет только один фактор. Изменение параметра оптимизации у в зависимости от фактора геометрически можно представить в виде кривой (рис. 1), а аналитически в виде уравнения

Такая функция называется функцией отклика, экстремуму

уравнение линии cd , приближенно описывающей часть кривой ab. При двух факторах функция отклика Вгеометрическислучае большогоможет бытьчислапредставленафакторовкакгеометрическоеповерхность в представлениехмерном пространствефункции илиневозможно,виде уравненияаналитическое выражение

можно только по аналогии представить в виде гиперповерхности. Эффективность планирования тем выше, чем больше факторов влияет на процесс.

Опыты должны быть рандомизированы т. е. проводиться в последовательности, которая устанавливается с помощью таблицы случайных чисел или любой процедуры, обеспечивающей случайный порядок проведения опытов. Рандомизация позволяет нивелировать систематические (например, периодические) воздействия неконтролируемых факторов.

Для упрощения записи условий эксперимента и обработки экспериментальных данных масштабы по осям независимых переменных выбираются (после выбора интервала варьирования) так, чтобы верхний уровень соответствовал +1, нижний – (– 1), а основной – 0.

Это обусловливает преобразование координат:

где — кодированное значение факторов;

—натуральное значение фактора;

—основной уровень (натуральный);

—интервал варьирования.

2. Полный факторный эксперимент (ПФЭ)

Полный факторный эксперимент позволяет оценивать линейные эффекты и эффекты взаимодействия при большом числе независимых переменных. В полном факторном эксперименте для каждого фактора выбирается определенное число уровней и затем осуществляются все возможные комбинации уровней. Недостатком полного факторного эксперимента является необходимость одновременной постановки большого числа опытов, так как с ростом числа факторов n число опытов N растет по показательной функции

При варьировании каждого фактора на двух уровнях (+1) и (-1) число возможных комбинаций (опытов) N=2

Матрица факторного плана составляется по правилу: частота смены знака (уровня) каждого последующего фактора вдвое меньше предыдущего. В табл. 1 приведен план серии опытов для .

Таблица 1

План полного факторного эксперимента для трех факторов

Каждый столбец матрицы называется вектор-столбцом, а каждая строка — вектор- строкой. Часто для сокращения записи матрицы вводят буквенные обозначения строк. Пусть соответствует буква , , т. д.

Если для матрицы планирования (см. табл. ) выписать буквы только для факторов, находящихся на верхних уровнях, то каждой строке будет соответствовать единственная комбинация из букв. Опыт со всеми факторами на нижних уровнях обозначается (1). Тогда та же матрица может быть записана в тексте: (1), a, b, ab, c, ac, bc, abc.

Полный факторный эксперимент для трех факторов позволяет оценить раздельно основные эффекты A, B и C, эффекты взаимодействия первого порядка AB, BC и AC и взаимодействие второго порядка ABC.

условие симметричности матрицы относительно центра эксперимента

условие нормировки, следующее из того, что равно либо +1 , либо -1,

условие ортогональности (ортогональной называется матрица, для которой скалярное произведение всех вектор - столбцов равно нулю)

При этих условиях каждому набору значений одного фактора на любом уровне соответствует равное количество и из любого столбца матрицы. Поэтому средний уровень влияния прочих эффектов равен нулю. Отсутствует корреляция между факторами, и коэффициенты регрессии определяются независимо друг от друга; матрица является ротатабельной. Это значит, что точность предсказания значений параметра оптимизации одинакова на равных расстояниях от центра эксперимента и не зависит от направления. Дисперсии значений параметра оптимизации равны для точек, расположенных на одинаковых расстояниях от центра планирования; дисперсии для всех коэффициентов уравнений равны и минимальны. Для оценки дисперсии воспроизводимости обычно ставят несколько параллельных опытов в центре эксперимента при . Иногда целесообразно также дублировать всю матрицу планирования, определяя средневзвешенную дисперсию воспроизводимости.

Выбор нулевой точки (центра эксперимента) соответствует оптимальным значениям факторов на основе априорной информации, опыта экспериментатора.

—все значения факторов в матрице должны быть реализуемыми, т. е. должны находиться в области существования данных факторов — величина интервала от +1 до -1 должна существенно превышать ошибку фиксирования данного фактора;

—интервал варьирования данного фактора должен обеспечивать влияние на выходные параметры процесса.

Благодаря свойствам симметричности и ортогональности возможен простой прием получения коэффициентов математической модели поверхности отклика. Исходя из простого примера выведем формулу коэффициентов методом наименьших квадратов. Пусть имеются два фактора x1 и x2 и матрица полного факторного

эксперимента. Функция отклика имеет вид

Так как МНК основан на минимуме суммы квадратов ошибок

или

Используя вышеуказанные свойства матриц (7), (8) и (9), можно записать систему в виде

т. е. система распалась на независимых уравнений, откуда следует общая формула расчета коэффициентов:

Коэффициенты уравнения (или линейной модели) показывают степень влияния данного фактора на параметр оптимизации, а также показывают, на какую величину изменяется этот параметр при изменениях фактора от нулевого уровня до верхнего.

Часто используется понятие "эффект фактора", который численно равен удвоенному коэффициенту и соответствует вкладу фактора в изменение параметра оптимизации при переходе фактора с нижнего уровня на верхний.

Полный факторный эксперимент позволяет получить линейную модель процесса. Можно ли извлечь из него дополнительные сведения? Обратим внимание прежде всего на то, что исходную матрицу можно расширить. Действительно, запишем для ПФЭ 22 дополнительно столбцы для произведений факторов (табл. 2).

Таблица 2

факторного эксперимента может быть найден коэффициент при этом члене:

При этом столбцы и являются основными. По ним строится матрица, а столбцы

ииспользуются только для расчета.

порядка и т. д. Иначе их называют "парные взаимодействия", "тройные" и т. д. Число возможных взаимодействий какого-либо порядка можно рассчитать по формуле сочетаний

где — число факторов; — число элементов во взаимодействии.

Из табл. 2 можно видеть также, что вектор-столбцы для и совершенно идентичны. Это значит, что, пользуясь полным факторным экспериментом, найти коэффициенты при этих членах в отдельности невозможно. Другими словами, нельзя сказать, является ли величина истинной или на нее оказали влияние значения и .

Если считать, что неизвестным истинным является некоторое, то вычисленная будет смешанной оценкой, т. е.

Следовательно, полным факторным экспериментом следует пользоваться лишь тогда, когда имеется уверенность в том, что функция отклика в пределах пространства варьирования факторов линейна или линейное приближение удовлетворяет исследователя.