Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
63
Добавлен:
03.06.2015
Размер:
913.41 Кб
Скачать

ЛЕКЦИЯ 2. МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

1.Основные понятия и определения

Случайной величиной называется величина, принимающая в результате опыта заранее неизвестное значение. Совокупность множества чисел называется простым статистическим рядом или простой статистической совокупностью и является наименее удобным для хранения, передачи и использования видом информации. Для придания информации о случайной величине более компактной и удобной формы статистическая совокупность подвергается математической обработке. В результате математической обработки получают числовые характеристики и закон распределения случайной величины. Закон распределения полностью характеризует с вероятностных позиций случайную величину. Числовые характеристики случайной величины выражают существенные черты закона распределения. Закон распределения может быть выражен одной формулой, а числовые характеристики –тремя – четырьмя числами, что является компактной формой представления случайной величины.

Используя определенные законы распределения и числовые характеристики, можно решать многие задачи, в которых входными данными являются случайные величины.

При исследовании на ЭВМ горных машин представляют интерес методы решения обратной задачи математической обработки – воссоздание по известному закону распределения и числовым характеристикам простой статистической совокупности.

Формирование другой, но с вероятностных позиций эквивалентной статистической совокупности на основании закона распределения и числовых характеристик называется моделированием.

Смоделированная совокупность является случайной выборкой из всего бесконечно большого множества возможных значений случайной величины. Этой совокупности свойственны черты случайности, проявляющиеся тем больше, чем меньше объем выборки. Представительность полученной выборки, т. е. степень соответствия ее закону распределения и числовым характеристикам, на основании которых она была смоделирована, определяется путем оценки точности и достоверности результатов моделирования.

Рис. 1. Лесотаксационный участок

2. Моделирование случайной равномерно распределенной величины

В некоторых практических задачах встречаются непрерывные случайные величины, равномерно распределенные в определенном интервале. Например, координаты деревьев в пределах определенной площадки являются случайными величинами (если насаждения не искусственные (рис. 1). Дифференциальная функция распределения, т. е. плотность вероятности f(x) равномерно распределенной величины, согласно третьему следствию свойств интегральной функции

(1)

Случайная величина xi, равномерно распределенная в интервале (a-b),

находится из формулы:

(2)

где ri– случайная равномерно распределенная в интервале (0-1) величина.

Математическое ожидание x случайной равномерно распределенной величины в интервале (a-b) находится из формулы

(3)

где M – число случайных величин, равномерно распределенных в интервале (a-b) .

Рис. 2. Равномерно распределенная случайная величина

Дисперсия D случайной равномерно распределенной величины в интервале (a-b) находится из формулы

(4)

Ниже приведен контрольный пример при В = 100, А = 0, М = 1000000.

Смоделированная статистическая частность

находится из формулы

(5)

где mi – число реализации в i-м разряде.

Смоделированная статистическая плотность распределения находится из формулы

(6)

где – протяженность разряда, равная длине интервала, деленной на число интервалов, l/m.

Теоретическая частность pi1 для равномерного распределения одинакова во всех

разрядах:

(7)

Равномерное распределение

Исходные данные

1. Число случайных величин

N

1000000

2. Минимальное значение случайной величны

Xmin

 

0

 

 

3.

Максимальное значение случайной величины

 

 

 

Xmax

100

4.

Параметр случайного распределения

 

 

 

 

0

5.

Параметр случайного распределения

 

 

 

 

0

6.

Параметр случайного распределения

 

 

 

 

0

7.

Число интервалов случайной величины

 

 

 

n

10

 

 

Результаты расчетов

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Число

 

 

 

№ интер-вала

Интервал

 

попаданий в

 

 

 

 

 

 

интервал

 

 

 

1

0,00

10,00

100225

 

 

 

2

10,00

20,00

100263

 

 

 

3

20,00

30,00

99899

 

 

 

4

30,00

40,00

99592

 

 

 

5

40,00

50,00

99782

 

 

 

6

50,00

60,00

99809

 

 

 

7

60,00

70,00

100047

 

 

 

8

70,00

80,00

100137

 

 

 

9

80,00

90,00

100393

 

 

 

10

90,00

100,00

99853

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Число степеней свободы k находится из формулы

(8)

где k – число интервалов распределения.

Для примера, приведенного в табл. 1.1,

• a при уровне значимости 0,99, т. е. вероятности 99 %. Так как то; смоделированная совокупность незначительно

отличается от теоретической.

3. Моделирование случайной нормально распределенной величины

Во многих практических задачах встречаются непрерывные случайные величины, распределение которых подчиняется нормальному закону. Плотность вероятности f(x) выражается формулой

(9)

Интегральная функция распределения F(x) есть функция Лапласа Ф(x) и выражается формулой

(10)

Аргумент функции Лапласа находится из формулы:

(12)

Например. Теоретическое число попаданий в интервале

т.е. находится из форму

(13)

Эта функция непрерывно возрастает от 0 до 0,5. Значения функций даны ниже:

z

0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

4,0

2Ф(z)

0

0,383

0,6826

0,8664

0,9544

0,9876

0,99730

1,0

Рис. 3. Нормально распределенные случайные величины

На рис. 3 приведено несколько кривых плотностей распределения, отличающихся дисперсией . Положение оси симметрии характеризуется параметром , называемым математическим ожиданием. Нормальный закон распределения характеризуется двумя числовыми характеристиками – математическим ожиданием и среднеквадратическим отклонением .

Оценки математического ожидания и дисперсии (т. е. приближенные статистические значения и ), полученные по данным выборки, находятся из формул:

(14)

где N – количество случайных чисел в выборке;

(15)

Из теории вероятности известно, что сумма нескольких независимых случайных величин с одним законом распределения приближается к нормальному закону. Практически при сложении 6 случайных равномерно распределенных в интервале (0 – 1) независимых случайных величин распределение их суммы подчиняется нормальному закону.

Математическое ожидание случайной равномерно распределенной величины в интервале (0 – 1) можно вычислить:

(16)

Дисперсия

случайной равномерно распределенной в интервале (0– 1) величины

(17)

Математическое ожидание у суммы шести случайных величин находится из формулы

(18)

Дисперсия суммы шести случайных величин находится из формулы

(19)

Отдельная реализация случайной величины , распределенной по нормальному закону, находится из формулы

(20)

где – относительное отклонение случайной величины

от

математического ожидания.

 

Для каждой реализации числа , распределенного по нормальному закону с

параметрами

и

 

относительное отклонение можно определить по формуле :

 

 

(21)

Таким образом, отдельная реализация случайной величины

может быть вычислена

по формуле

 

 

 

 

(22)

Следовательно, для получения N случайных величин, распределенных по нормальному закону, необходимо иметь в 6 раз больше чисел, распределенных равномерно.

Таблица 2

Смоделированный статистический ряд

Пример. По данным табл. 2 определить соответствие смоделированной статической совокупности нормальному закону распределения при

Так как число степеней свободы и

,

то с надежностью 95%

можно считать, что смоделированная совокупность

 

незначительно отличается

от теоретической.

 

Соседние файлы в папке Математическая обработка результатов эксперимента