8.2. Приближенная оценка качества по параметрам разомкнутого контура

Приближенную оценку прямых показателей качества σ и t_п (без вычисления и построения переходной характеристики) удобно осуществлять на основе гипотезы об эквивалентности динамических свойств замкнутой СУ свойствам колебательного звена второго порядка (см. раздел 3.4). Рассмотрим подробнее сущность этой гипотезы и методику оценки показателей качества реальной системы через параметры ее упрощенной колебательной модели.

Простейшей моделью, пригодной для приближенного описания динамики одноконтурной системы и приближенной оценки показателей качества процесса управления по основному каналу х_з-х, может служить инерционное звено второго порядка

(8.15)

обладающее колебательными свойствами (коэффициент демпфирования ξ<0,7) и передаточным коэффициентом k, равным (для астатической системы) или близким (для статической) единице. Приближенная замена реальной СУ, у которой АЧХ имеет, как правило, характерный резонансный пик при частоте ω_р (см.рис.8.4,а), заключается в подборе параметров T' и ξ модели (8.15) таким образом, чтобы обеспечить в существенном диапазоне частот 0≤ω≤2ω_р наиболее близкое совпадение АЧХ системы и ее модели, т. е. чтобы

(8.16)

При этом обычно достаточно обеспечить совпадение трех параметров АЧХ: начальных значений , резонансных частот ω_р.с≈ω_р.м и максимальных значений определяющих, как известно, частотный показатель колебательностиМ (см. формулу (8.5)).

Очевидно, что при адекватности (8.16) частотных характеристик будут близки друг другу и переходные характеристики реальной системы и ее приближенной модели:

(8.17)

С помощью модели (8.15) удается реальный контур регулирования, представляющий собой в общем случае сложную динамическую систему высокого порядка, описать достаточно простыми формулами. Так, АЧХ замкнутого контура

(8.18)

а переходная функция

(8.19)

где –частота затухающих колебаний; – частота незатухающих колебаний; α = ξ /T – коэффициент затухания; .

В выражения (8.18) и (8.19) входят лишь два числовых параметра T и ξ, которые связаны с частотами незатухающих (ω₀), затухающих (ω_з) и резонансных (ω_р) колебаний и с частотным показателем колебательности М известными соотношениями (см. раздел 3.4):

(8.20)

(8.21)

По модельной переходной характеристике (8.19) можно получить аналитическое выражение для двух главных показателей качества:

коэффициента перерегулирования

(8.22)

и длительности переходного процесса (при 5 %-ной зоне)

(8.23)

В диапазоне реальных (часто используемых на практике) значений 0,25≤ ξ ≤0,55, которым соответствуют показатели колебательности 2,1≥М≥1,1, формулы (8.21)-(8.23) могут быть с точностью, достаточной для практических задач, аппроксимированы следующими простыми выражениями:

(8.24)

С помощью приближенных формул (8.24) можно динамические показатели качества замкнутой системы выразить через параметры ее разомкнутого контура. Поэтому для модели (8.15) замкнутой системы желательно найти соответствующую модель разомкнутого контура. Нетрудно убедиться, что простейшим разомкнутым контуром, который при замыкании образует колебательное звено (8.15), является реальное интегрирующее звено

(8.25)

Действительно, ПФ замкнутой системы, изображенной на рис. 8.7,а, по основному каналу

(8.26)

где k – ПК разомкнутого контура; Т₀₁ – постоянная времени инерционного звена контура (обычно объекта).

Очевидно, что модель (8.26) замкнутой системы по каналу задания будет эквивалентна колебательному звену (8.15), если параметры разомкнутого контура связаны с параметрами этого звена следующими соотношениями:

(8.27)

или

(8.28)

Параметры Т и ξ колебательной модели (8.15) замкнутой СУ можно выразить в явном виде через параметры k и Т₀₁ разомкнутого контура системы:

(8.29)

При выполнении соотношений (8.27), (8.28) и (8.29) ПФ замкнутой системы (рис. 8.7,а) по каналу х_в - х имеет вид

(8.30)

соответствующая ей АЧХ

(8.31)

Типичная форма амплитудных характеристик (8.18) и (8.31) по каналам задания и возмущения показана на рис. 8.7,б, в. Обратим внимание на то, что резонансный пик у характеристики А_м.в(ω) всегда больше, чем у А_м(ω), и частота ω_р.в > ω_р.

Объединяя теперь зависимости (8.24) и (8.29), получим следующие простые формулы для приближенной оценки показателей качества системы регулирования по известным (заданным или выбираемым) параметрам ее разомкнутого контура:

(8.32)

Рис. 8.7. Алгоритмическая структура (а) и частотные характеристики (б,в)

приближенной модели колебательной СУ

Формулы (8.32) обеспечивают достаточную для инженерных расчетов точность в диапазоне 30° ≤Δφ≤ 60°, который соответствует значениям 0,25≤ ξ ≤0,55.

В заключение укажем, как следует определять базовые параметры k и T₀₁ приближенной модели (8.25) в тех случаях, когда разомкнутый контур реальной системы имеет более сложную ПФ, чем (8.25). Например, если реальная система астатическая с ПФ

(8.33)

где ,

то базовые параметры

(8.34)

Если же реальная система статическая с ПФ

(8.35)

то

(8.36)

В более сложных случаях, когда числитель W_р.к(р) представляет собой полином от р, то пользоваться моделями (8.25), (8.15) и соответствующими им формулами (8.32) можно лишь с определенной осторожностью.

Пример.Оценим приближенно показатели качества статической системы регулирования с передаточной функцией разомкнутого контура

(8.37)

где

Определим параметры упрощенной модели (8.25):

(8.38)

В соответствии с (8.29) параметр ξ модели (8.15)

(8.39)

он находится в пределах 0,25 ≤ ξ ≤ 0,55, для которых справедливы применяемые ниже приближенные формулы.

Согласно (8.32), коэффициент перерегулирования

(8.40)

длительность переходного процесса

(8.41)

показатель колебательности

(8.42)