Leonidov

Параметризации (61) отвечает, очевидно, разложение вокруг специально выбранного вакуума (унитарная калибровка):

Флуктуации в окрестности ϕ0 описываются физическим скалярным полем h – полем Хиггса.

Выражение для ковариантной производной принимает следующий вид:

Мы видим, что в результате спонтанного нарушения симметрии спектр рассматриваемой теории включает три массивных векторных бозона A1, A2, A3 с массой mA = gv/2 и скалярное поле Хиггса h. Подсчет степеней свобо-

ды показывает, что исчезновение из физического спектра полей ϕ1, ϕ2, ϕ3 на самом деле связано с их новой ролью продольных компонент ставших массивными компонент векторных бозонов.

и в предыдущем параграфе, необходимо рассмотреть ковариантную про-

где Bμ - U (1) калибровочное поле, связанное с гиперзарядом. Повторяя выкладки, описанные в предыдущем параграфе, получаем

Последнее слагаемое в квадратных скобках в (74) перепишем в следующем виде:

С учетом (75) из выражения (74) можно сделать вывод о наличии трех массивных векторных бозонов W ±, Z0:

а также (поскольку массовых членов всего три) о том, что имеется комбинация полей A3μ и Bμ, отвечающая безмассовому калибровочному бозону. Для количественного описания ситуации отметим, что физический смысл переопределения (75) состоит в том, что оно отвечает диагонализации соответствующих вкладов в (74) в терминах физических полей

Zμ0, Aμ:

с заряженнымим Wμ± и нейтральным Zμ0 бозонами. Мы видим, что имеется следующее соотношение между массами заряженных и нейтрального бозонов:

Последняя строка описывает взаимодействие с безмассовым калибровочным полем Aμ. В природе существует только одно такое поле - фотон, переносчик электромагнитного взаимодействия. Это значит, что для последней строки в (80) имеет место соответствие

где Q- матричный генератор электрического заряда, задающий соответствующие коэффициенты пропорциональности между электрическим зарядом сответствующей компоненты и элементарным зарядом e. Отметим, что, как и следовало из (72), ненарушенной симметрии действительно отвечает комбинация генераторов τ 3 +Y . Указанные соображения позволяют провести окончательное отождествление

5.2Взаимодействие с фермионами. Заряженные, нейтральные и электромагнитные токи.

Анализ, проведенный в предыдущем параграфе, позволяет нам сразу описать взаимодействие физических калибровочных бозонов группы SU (2) U (1), т.е. массивных промежуточных бозонов, заряженных Wμ± и нейтрального Zμ0, а также фотона Aμ c фермионными токами материи и, тем самым, полностью описать наблюдаемые процессы с участием заряженных, нейтральных и электромагнитных токов.

В самом деле, как мы уже обсуждали, в слабых взаимодействиях участвуют только левые компоненты фермионов, образующих дублеты которые, как и скалярное поле ϕ, преобразуются по спинорному представлению по группе слабого изоспина. Что касается правых компонент фермионов, то они являются синглетами по группе слабого изоспина и характеризуются только слабым гиперзарядом. Таким образом, в терминах исходных полей Wμa, Bμ, лагранжиан взаимодействия с фермионами можно схематически записать в виде:

Ковариантная производная DμL была вычислена нами в предыдущем параграфе, см. (80). Выпишем, используя (78), выражения для ковариантных производных (85) в терминах физических полей Wμ±, Zμ0 и Aμ и угла Вайнберга θW :

где во втором равенстве в (86) мы использовали тот факт, что для правых фермионов слабый изоспин (собственное значение τ 3) равен нулю, и матрицы слабого гиперзаряда Y и электрического заряда Q совпадают, см. (83). Выражение (86) полностью определяет токи Jμ±, Jμ0 и Jμem в лагранжиане взаимодействия:

Для иллюстрации приведем выражения для рассматриваемых токов для лептонного дублета первого поколения. Для этого нам потребуются соответствующие заряды, приведенные в Таблице 4:

Таблица 4

Используя значения зарядов из Таблицы 4, получаем из (86,87):

5.3Массивные фермионы

В предыдущих параграфах мы проследили, каким образом явление спонтанного нарушения симметрии обеспечивает массивность калибровочных бозонов, не вступающую в противоречие с калибровочной инвариантностью теории. Для окончательной "достройки" спектра частиц стандартной модели нам осталось рассмотреть механизм придания масс фермионам. Как мы видели, свойства левых и правых фермионов в стандартной модели кардинально различны: первые преобразуются по спинорному представлению группы слабого изоспина SU (2), вторые синглетны по ней. Ясно, что стандартный способ рассмотрения массы фер-

L ¯ ≡

миона путем добавления в лагранжиан массового члена m mψψ

¯ ¯

m ψLψR + ψRψL не годится, поскольку явно нарушает калибровочную инвариантность.

Рассмотрим, для определенности, лептонный дублет первого поколения EL, состоящий из электронного нейтрино и электрона. Для придания массы нижней компоненте дублета (электрону) можно воспользоваться тем же скалярным дублетом ϕ, который обеспечивал массивность промежуточных бозонов. Действительно, слагаемые в лагранжиане вида

инвариантны относительно преобразований из SU (2) U (1) и, при выпадении нижней компоненты скалярного дублета ϕ0 в конденсат v, см.

(60,61,62), обеспечивают массивность нижней компоненты лептонного дублета:

Мы видим, что спонтанное нарушение симметрии для ϕ (т.е. v = 0)действительно обеспечивает искомое смешивание левой и правой компонент поля электрона.

Более тонкая ситуация с приданием массы верхним компонентам. Предположим, что существует правое нейтрино νR. Для организации произведения ν¯LνR нам, очевидно, необходим скалярный дублет с нейтральной верхней компонентой, выпадающей в конденсат, преобразующийся по спинорному представлению SU (2). Кроме того, поскольку Y (νR) = 0, для обеспечения инвариантности соответствующего вклада в лагранжиан гиперзаряд искомого дублета должен быть равен −1/2 (напомним, что гиперзаряд исходного дублета ϕ равен 1/2). Поле ϕ† имеет нужный гиперзаряд, но преобразуется по представлению 2 , сопряженному необходимому спинорному 2. Таким образом для генерации масс верхних компонент нам, вообще говоря, требуется новый скалярный изодублет ϕ˜, обладающий нужными свойствами. Замечательной особенностью SU (2) является, однако, эквивалентность представлений 2 и 2 , связанных преобразованием подобия, так что обладающее всеми нужными свойствами поле ϕ˜ строится непосредственно из исходного скалярного изодублета ϕ:

Это позволяет, при наличии соответствующих правокиральных полей, записать массовый член для верхних компонент в виде

Насколько мы знаем, взаимодействие лептонов с полем Хиггса не смешивает частицы, принадлежащие разным поколениям, так что лептоны e, μ, τ являются одновременно собственными состояниями по слабому

изоспину и состояниями с определенной массой. В кварковом секторе ситуация более сложная. Как мы уже обсуждали выше, экспериментальные данные неопровержимо свидетельствуют о том, что собственные состояния по слабому изоспину являются суперпозицией состояний с определенной массой (каббибовское смешивание). Естественно предположить, что в рамках механизма, основанного на спонтанном нарушении симметрии в скалярном секторе, подобное смешивание массовых состояний связано с тем, что скалярное поле может связывать левые и правые компоненты фермионов, принадлежащих к разным поколениям. В наиболее общей форме взаимодействие кварков со скалярным полем ϕ можно записать в виде

где i = 1, 2, 3- индекс поколения, QiL- дублет по слабому изоспину с компонентами uiL и diL, а uiR и diR- соответствующие правые компоненты. Важно отметить, что в лагранжиане (94) матрицы λiju,d- это комплексные матрицы которые, вообще говоря не являются ни симметричными, ни эрмитовыми5. Лагранжиан (94) можно упростить, используя унитарные матрицы U(u, d) и W(u, d), определенные соотношениями:

где D(2u, d) – диагональные матрицы с вещественными компонентами. Используя матрицы U(u, d) и W(u, d), можно представить матрицы λ(u, d) в следующем виде:

и переопределить кварковые поля при помощи вращений

Как легко убедиться, преобразования (97) диагонализуют массовый член в лагранжиане (94):

и приводят к следующей структуре заряженных токов:

матрицы λ были бы вещественными.

Мы видим, что диагонализация массового члена привела к переопределению заряженного тока, которое можно интерпретировать как вращение нижних компонент кварковых дублетов унитарной матрицей Кабиббо- Кобаяши-Маскава V :

Можно показать, что распоряжаясь имеющейся свободой в выборе фаз кварковых полей, в случае двух поколений матрицу V можно представить в виде:

т.е. в точности каббибовское вращение. Отметим, что в этом случае матрица V вещественна и, тем самым, рассматриваемая теория CP - инвариантна.

Для трех поколений матрицу V можно представить в следующей форме, характеризуемой тремя вращениями и комплексной фазой:

(102) Важнейшей особенностью этого случая является неустранимая комплексность V и, тем самым, лагранжиана теории из-за наличия фазы exp(iδ). Имеющиеся экспериментальные данные свидетельствуют о том, что именно этот механизм нарушения CP является доминирующим. Более подробно о физике нарушения CP вы узнаете из лекций В.И. Шевченко в этой книге.

6Аномалии

Как уже многократно упоминалось выше, экспериментальные данные по слабым распадам с участием заряженных токов неопровержимо свидетельствуют о том, что в слабых взаимодействиях четность максимально нарушена. В то время как левые компоненты фермионов взаимодействуют с неабелевыми калибровочными бозонами группы SU (2), их правые компоненты взаимодействуют только с абелевым калибровочным бозоном, связанным с группой слабого гиперзаряда U (1). В исходном лагранжиане массовые члены для фермионов, смешивающие их левые и правые компоненты, отсутствуют. Соответственно, состояния с левой и правой киральностями являются динамически независимыми. В этом случае

лагранжиан инвариантен относительно преобразований киральной симметрии

Действительно, из уравнения Дирака для ψ следует, что для массивного фермиона дивергенция тока j5μ пропорциональна массе, ∂μj5μ = 2mj5μ, т.е. что ток j5μ в безмассовом пределе сохраняется.

Сохранение классического тока не означает, однако, его сохранения при учете квантовых поправок. Рассмотри для определенности безмассовую квантовую электродинамику. Оказывается, что однопетлевые квантовые поправки, обусловленные взаимодействием с фотонами, генерируют новый аномальный вклад в дивергенцию j5μ:

Аномальный вклад в правой части (105) может быть представлен как дивергенция тока Xμ:

Как следует из (106), можно переопределить ток (104) таким образом, чтобы он сохранялся:

Ключевая проблемы состоит, однако, в том, что новый ток (107) не является калибровочно-инвариантным. Таким образом, нам необходимо сделать неприятный выбор: либо иметь дело с последствиями аксиальной аномалии (105), среди которых, в частности, неперенормируемость теории, и сохранить калибровочную инвариантность теории, либо сохранить киральную инвариантность, потеряв при этом калибровочную симметрию. Само описание этой альтернативы показывает, что в разумной теории аномалий быть не должно.

Понятно, что для стандартной модели, которая изначально строится как киральная теория, отсутствие аномалий является жизненно необходимым условием. Чтобы понять, каким образом решается эта проблема, нам необходимо рассмотреть неабелево обобщение предыдущего примера, в которой киральные фермионы взаимодействуют с калибровочными