Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Lektsii_Vesna

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

1.11 Mб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Лекция 1

Основы статистической теории управления

Теоретическое исследование предполагает упрощение, идеализацию сложных взаимосвязей, имеющих место в действительности, то есть переход от к от реального объекта к его математической модели. Модель приближенно отражает свойства реального объекта, но описывается уравнениями, допускающими использование регулярных методов.

Весьма характерным приёмом идеализации реальности является линеаризация. Применительно к САУ это упрощение позволило нам разработать достаточно эффективные методы анализа и синтеза систем. Вместе с тем мы понимаем, что реальная система управления в общем случае является нелинейной и это обстоятельство подчас приводит к появлению качественно новых эффектов.

Другим важным приёмом идеализации реальных САУ является детерминизация, т.е. предположение о том, что структура системы, её параметры, входные и выходные сигналы, а также помехи являются однозначными функциями времени. Это упрощение также существенно облегчило теоретическое исследование САУ.

Но реальная жизнь, опыт функционирования реальных систем требуют умения отказаться в необходимых случаях и от этой «иллюзии», требуют более полного описания САУ, описания, которое явным образом учитывает, с одной стороны, случайность и неопределённость систем и воздействий на них, и, с другой стороны, возможно сильное совокупное влияние большого количества таких случайных второстепенных взаимосвязей, каждая из которых по отдельности может быть отброшена.

Таким образом, мы приходим к необходимости учёта случайных факторов, к необходимости статистического подхода к описанию САУ. Для статистического подхода характерен принципиальный отказ от попыток определения результата каждого единичного опыта и переход к определению результата массовых испытаний, многократно повторяемых опытов. Оказывается, что при многократном осуществлении испытаний при одинаковых контролируемых условиях опытов проявляются устойчивые закономерности, описываемые

детерминированными статистическими характеристиками.

Если для детерминированных систем задача анализа состояла в нахождении выхода по заданному входу, то для статистических - в определении статистических характеристик выхода по заданным статистическим характеристикам входа.

Математическим аппаратом при этом для нас будет теория вероятностей, в частности теория случайных процессов. Заметим, что многие понятия теории вероятностей очень глубокие и для их усвоения необходимы и время и усердие.

Основные понятия теории случайных процессов

Теория вероятностей – раздел математики, занимающийся изучением закономерностей массовых случайных явлений.

Не претендуя на исчерпывающую математическую строгость (что будет в должном объёме присутствовать в соответствующем курсе математики), конспективно изложим основные понятия, необходимые нам в дальнейшем.

Втеории вероятностей рассматриваются три класса случайных явлений:

-случайные события (самые простые случайные явления);

-случайные величины (более сложный класс явлений);

-случайные процессы (наиболее сложный класс).

Случайное событие А - заданное, фиксированное явление, возникновение которого случайно. Характеристикой случайного события является вероятность Р(А) его возникновения.

Пример. Случайное событие – явка студента N (а также и лектора!) на лекцию. Случайная величина ξ – величина, которая в результате испытания принимает одно и

только одно значение i из множества возможных значений {ξ}. Основной характеристикой

случайной величины является функция распределения вероятности		F ( ) P( ) , где

Л-01	12.02.2015	1 из 25

- заданное значение, P( ) - вероятность того, что в результате испытания ξ будет меньше .

Пример. Случайное величина – число студентов, явившихся на лекцию.

Случайным процессом x(t) или случайной функцией, зависящей от параметра t, называют такую функцию, значение которой при каждом t является случайной величиной. Если параметр t представляет собой время, то процесс называется стохастическим.

Отдельные наблюдения над случайным процессом, происходящим в однотипных системах, т.е. при неизменных контролируемых условиях опыта, дадут каждый раз различные функции x(t) - различные экземпляры, или реализации случайного процесса. Точно

предсказать, какова будет в каком-то единичном опыте реализация случайного процесса невозможно.

Пример. Случайный процесс – число студентов, явившихся на лекцию, в зависимости от номера (t) лекции (однотипность условий?).

Полной характеристикой случайного процесса является множество многомерных функций распределения вероятностей, определяющих вероятность реализации заданных значений случайного процесса в различные моменты времени

F (x1,t1;...xn ,tn ) P{x(t1) x1, ...x(tn ) xn},

n = 1, 2, …

Основные характеристики случайных процессов

Совокупность реализаций случайного скалярного процесса x(t) можно схематически представить следующим образом

x(t)

Реализации случайного

процесса x(t)

p1(t) t=t1

Наиболее

простой характеристикой

распределения

случайного процесса x(t)

F(x1 ,t1 )

является одномерная функция распределения

вероятности

F1 (x1 , t1 ) P{x x1},

т.е. вероятность того, что значение случай-

p1 (x1 ,t1 )

ного процесса в момент времени t1 , будет

меньше заданного значения x1.

Имеем

F (x dx ) F (x ) F1 (x1,t1 ) dx .

x dx

Вводя в рассмотрение одномерную

плотность распределения вероятности

p (x ,t ) F1 (x1,t1 )

получаем, что вероятность того,

что значение случайной величины x(t) в момент времени t1

будет лежать в диапазоне x , x dx , равна P (x ) p (x , t )dx , а в интервале от

до x

x0 2

P1 (x01 x x02 ) p1 (x, t1 )dx .

x0 1

Л-01

12.02.2015

2 из 25

Выше мы говорили об одномерной функции распределения. Аналогично одномерной можно говорить о многомерных функциях распределения случайного процесса x(t).

Так для двумерной функции распределения вероятностей имеем

F2 (x1 ,t1 ; x2 ,t2 ) P{x(t1 ) x1 , x(t2 ) x2 },

рассматриваются два произвольных сечения x(t1 ) и x(t2 ) одного случайного процесса и F2 есть вероятность того, что в момент времени t1 случайная величина меньше x1 , а в момент времени t2 - меньше x2 .

Соответствующая двумерная плотность распределения вероятности

p2 (x1 ,t1 ; x2 ,t2 )		2	F2 (x1 ,t1 ; x2 ,t2 ) .


	x1 x2
Полностью случайный процесс, как уже говорилось выше) характеризуется
бесконечным множеством детерминированных функций Fn (x1 ,..., xn ;t1 ,...,tn ) , n = 1, 2, …
Оперировать с бесконечным количеством		реализаций или, что то же самое, с

бесконечным количеством функций распределения не просто сложно, но и невозможно. Положение спасает то, что это бесконечное разнообразие можно с достаточной точностью охарактеризовать с помощью конечного числа детерминированных функций.

Математическое ожидание - среднее значение случайного процесса в момент времени t1:


mx (t1 ) M x(t1 ) x(t1 ) x(t1 ) p1 (x,t1 )dx .

Дисперсия - характеристика разброса случайного процесса относительно среднего
значения:
			2
Dx (t1 ) M x(t1 ) mx (t1 ) 2 (x mx )2 p1 (x,t1 )dx x (t1 ) p1 (x,t1 )dx ,

			т.е процесс с mx (t) 0.
где x(t) x(t) mx - центрированный случайный процесс,
Корреляционная функция - характеристика взаимозависимости значений случайного
процесса в разные моменты времени. Например, при			одинаковых mx и Dx характер
случайного процесса может различаться по «плавности» изменения

слабое			сильное изменение

Kx (t1,t2 ) M x(t1) x(t2 ) x1(t1)x2 (t2 ) p2 (x1,t1; x2 ,t2 )dx1dx2 ,

где x(t) – в общем случае нецентрированный случайный процесс.

В этом выражении p2 (x1 ,t1 ; x2 ,t2 )dx1dx2 определяет вероятность того, что значение случайной величины x(t) в момент времени t1 находится в пределах x1 x(t1 ) x1 dx1 , а в момент времени t2 - в пределах x2 x(t2 ) x2 dx2 .

Корреляционная функция центрированного случайного процесса – дисперсионная функция

							)
R (t ,t	2	) M	x(t ) x(t			2	)	, причем, очевидно,	R (t,t) D (t).
x 1	2			1		2			x	x

Л-01					12.02.2015					3 из 25

Для характеристики статистической взаимозависимости различных случайных функций f (t) и (t) , действующих на одну и ту же систему, пользуются понятиями функции совместного распределения вероятностей и взаимной корреляционной функции:

,t ;

) P f (t ) f

, (t

)

,t ; ,t

)

2 F

( f

f (t1 ) (t2 ) p f ( f0 ,t1 ; 0 ,t2 ) d f d

K f (t1 ,t2 )

Вышеуказанные характеристики можно распространить на векторный случай:

	x (t)		m (t)
	1			1
	x2	(t) .
X (t)			При этом математическое ожидание есть m(t) m2		(t) .




	xn	(t)	mn		(t)


Здесь X(t) – в общем случае нецентрированный случайный процесс,								X X (t) m(t) .
Матрица корреляционных функций:
		K	11	(t , t	2	) K		1n	(t , t	2	)
			11	1	2			1n	1	2
	K (t1 , t2 ) M X (t1 ) X T (t2 ) M										,
							Knn (t1 , t
		Kn1 (t1 , t2 )					Knn (t1 , t			2 )
где элементы матрицы Кij представляют собой при i j			- корреляционные функции, а при
i j - взаимные корреляционные функции компонент.
При	t1 t2	t имеем матрицу корреляционных моментов R(t) , а при дополнительном
условии mx	0	- дисперсионную матрицу (матрицу	центрированных						корреляционных
моментов).

N.B. mx (t), Dx (t) и K x (t1 ,t2 ) - детерминированные характеристики случайного процесса.

Классификация случайных процессов

1.Стационарные процессы (в широком смысле).

mx (t) const, Kx (t1 ,t2 ) Kx (t1 t2 ) Kx (t2 t1 ) Kx ( ), Dx (t) Rx (0) const .

2. Эргодические процессы - усреднение по множеству реализаций эквивалентно усреднению по реализации (процесс может быть стационарны, но не эргодическим)

(t) x(t) p(x)dx x lim

T x(t)dt ,

T 2T

D (t)

(x(t))2 p(x)dx lim

(x(t))2 dt ,

T 2T

x (t)x

lim

T x(t) x(t )dt

( ) x(t)x(t )

(t ) p

(x ,t; x

,t )dx x

T 2T

Спектральная плотность стационарного процесса Sx(ω).

(частотные представления)


Sx ( ) Kx ( )e i d 2 Kx ( ) cos d ,
	0

т.е. Sx(ω) есть Фурье-преобразование корреляционной функции, при этом

	1		1
K ( )		S ( )ei d			S ( ) cos d ,
	2
x		x			x

				0

Л-01

12.02.2015

4 из 25

последнее равенство справедливо в силу чётности функции Sx(ω). Здесь преобразованию Фурье подвергается детерминированная функция K ( ) . Ранее, в детерминированных

системах, в ряд Фурье мы раскладывали саму входную функцию g(t) .

Замечание. Спектры функций

а) (t t0 ) :

Sδ(ω)

= (t t0 )e i t dt e i t0 .

(a)

b) ei 0t : Используя обратное преобразование, из (а) получаем

(t t )

e i t0 ei t d

ei (t t0 )d ,

откуда

ei (t t0 )d 2 (t t0 ) .

Следовательно

Se(ω) = ei 0t e i t dt

ei( 0 )t dt 2 ( 0

)

(b)

Учитывая, что ei

cos i sin получаем

ei 0t cos 0t i sin 0t 2 ( 0 ) , e i 0t cos 0t i sin 0t 2 ( 0 ) cos 0t ( 0 ) ( 0 ) , sin 0t i ( 0 ) ( 0 ) .

Белый шум

S ( ) S		const	R ( )	1	S ei d S ( ) ,
				2
x	0		x			0	0

т.е. белый шум представляет математическую идеализацию абсолютно некоррелированного процесса с нулевым (Sic!, т.к. Sx=const, см. ниже) математическим ожиданием mx 0 .

Реальный случайный процесс можно моделировать белым шумом, если спектр случайного процесса значительно превосходит полосу пропускания частот исследуемой системы.

Замечание 2. Справедливы следующие соотношения статистических характеристик нецентрированных и центрированных случайных процессов:

p x dx

x mx p x dx x p x dx 2m x p x dx mx

p x dx Dx mx .

Аналогично

Kx t1 ,t2 x t1

x t2 p x1 , x2 ,t1 ,t2 dx1dx2 Rx t1 ,t2 mx (t1 )mx (t2 ).

Для спектральных плотностей стационарных процессов получаем

Sx Kx

e i d

Rx e i t

mx2 e i t dt S

mx2 2 ..

Лекция 2

Статистический анализ и оценка точности линейных систем

(методы интегральных соотношений и спектральных плотностей)

Л-01

12.02.2015

5 из 25

Задача состоит в определении статистических характеристик выхода (в первую очередь, математического ожидания и дисперсии) по заданным характеристикам входа. Рассмотрим три подхода к решению этой задачи.

1.Метод интегральных соотношений

Врамках рассматриваемого метода задача оценки точности решается на основе интегральных соотношений между математическими ожиданиями и корреляционными функциями входа и выхода.

Внекоторых случаях соотношения между математическими ожиданиями и

корреляционными

функциями находятся

просто,

на основе определения. Так для

усилительного звена y kx. имеем m

t ,t

k 2 K

t ,t

В общем же случае необходимые соотношения базируются на интеграле свертки

					t
			y t w t, x d ,
					0		x -
где y(t) – выходной сигнал, w t, - импульсная переходная функция системы, а							x -
входной сигнал.
Усредняя по множеству реализаций при фиксированном времени, получаем
					t
		y my (t) w t, mx				d .
					0
Далее
			t	t
		y t1 y t2 1 2 w t1 , w t2 , x x d d ,
0 0
откуда
			t	t
		K y t1 ,t2 1		2	w t1 , w t2 , Kx , d d .		1.1
	y t1 y t2	K y t1 ,t2 1		2	w t1 , w t2 , Kx , d d .		1.1
0 0
Пример: интегрирующее звено
	t					t1 t2
y t x d , и, поскольку w , 1, то K y t1,t2 Kx , d d .
0						0 0
Аналогичное (1.1) соотношение имеет место и для дисперсионных функций, поэтому
полагая в нем t1 ,t2 t для дисперсии выхода получаем
					t t
	Dy t Ry t1 ,t2		t1 t2	t	w t, w t, Rx , d d .		1.2
	Dy t Ry t1 ,t2				w t, w t, Rx , d d .		1.2
					0 0
					0 0
Если САУ – стационарна и стационарен входной сигнал, то, поскольку,
		t			t
		y t w t x d w x t d ,
0					0
для математического ожидания имеем
				t		t
		my t mx w t d mx w d .
				0		0

т.е. в общем случае выход стационарной системы нестационарен даже при стационарном входе.

Для корреляционной функции с учетом того, что

t	t
y t w x t d ,	y t w x t d ,
0	0

Л-01

12.02.2015

6 из 25

t t

y t y t w w x t x t d d .

0	0
в случае стационарности САУ и входного сигнала получаем
	t	t	1.3
Ky t,t w w Kx d d			1.3
	0	0

т.е., как отмечалось выше, выход стационарной системы нестационарен даже при

стационарном входе.
Если выходной сигнал близок к стационарному (установившийся режим				при больших
t), то
				1.4
Ky	w w Kx d d .			1.4
0	0
Аналогично, соответственно,
	t	t		1.3'
Ry t,t	w w Rx d d ,			1.3'
	0	0
				1.4'
Ry			w w Rx d d ,	1.4'
		0	0
Для дисперсии выхода в стационарном случае (установившемся режиме) получаем
				1.5
Dy уст Ry 0 w w Rx d d				1.5

Вслучае, если стационарное входное воздействие x t является белым шумом, для

которого Rx S0 , где			S0	Sx ( ) const, для дисперсии		установившегося		выхода
получаем

	2
Dy уст y		S0			w w d d S0	w2	d .	1.5'
				0	0	0

2. Метод спектральных плотностей

(только для стационарных и/или установившихся процессов)

В рамках рассматриваемого метода дисперсия выходного сигнала находится с использованием алгебраического соотношения между спектральными плотностями входа и выхода. Этот метод является реализацией частотных представлений применительно к стохастическим системам.

Применительно к детерминированным системам частотные представления базируются на рассмотрении реакции системы на гармоническое входное воздействие x ei t


y t w ei t d ei t w e i t d ,


	W i

т.е. соотношение между гармоническими входом и выходом определяется амплитуднофазовой характеристикой системы.

В случае стохастических систем частотными характеристиками входа и выхода являются их спектральные плотности. Спектральная плотность выходного сигнала есть


Sy	Ky e i d w 1	w 2	Kx 1 2 d 1d 2 e i d .

Выполняя замену переменных t 1 2 d dt , получаем

Л-01

12.02.2015

7 из 25

Sy w 1 w 2 K x

t ei 1 e i 2 e i t d 1d 2dt ,

Следовательно

w 1 ei 1 w 2

e i 2 d 1d 2

Kx t e i t dt

W i

t e i t dt

W i

2 Sx .

т.е. спектральные плотности входа и выхода связаны между собой через квадрат амплитудно-фазовой характеристики.

Величина дисперсии определяется соотношением

Dy Ry

0 2

S y

d 2

W i

S x

d .

Задача

На вход звена W s

подается белый шум Sx ( ) S0

const.

Найти Dy уст .

Ts 1

Решение:

1-й способ – метод интегральных соотношений. Согласно

1.5/

w t

e t T .

Dy уст Ry

w 1

w 2 Rx 1 2 d 1d 2

, где

Для белого шума Rx 1

2 S0 1

2 , следовательно,

1 2

2 d 1d 2

Dy уст

T 2

2-й способ – метод спектральных плотностей. Согласно

W i

2 S

y уст

1 T 2 2

Общее выражение для спектральной плотности выходного сигнала

(3)

модуля

x t

y t

W s Ф s Y s

Ф s

Y s

Имеем

y t1 wx 1 x t1 1 d 1 w

1 t1 1 d 1 ,

y t2 wx 2 x t2 2 d 2 w

2 t2 1 d 2 .

Здесь

wx импульсная переходная функция, соответствующая W s , а

w - Y s .

Отсюда

y t y

x t

d d

y 1

wx 1 w

x t1 1 t2 2

d 1d 2 wx 1 w 1

x t1 1 x t2 2

x t1 1 d 1d 2

Л-01

12.02.2015

8 из 25

	1 w 2
w	1 w 2	t1 1 t2 2	d 1d 2


wx	1 wx 2 K x 1 2 d 1d 2 wx			1 w 2 K x 1 2 d 1d 2


wx	2 w 1 K x 1 2 d 1d 2 w 1 w 2 K 1 2 d 1d 2 .

Умножая полученное на ei и интегрируя по					от до , получаем (используя
подстановку t 1 2 )

	S y K ei d W i W * i S xx				Y i Y * i S

	Y i W * i S x Y * i W i S x				.

Если сигнал и помеха некоррелированы (то есть S x Sx 0 ), то

S W i 2 Sx Y i 2 S .

Если нас интересует дисперсия ошибки отработки полезного сигнала, то в полученных соотношениях вместо передаточной функции звена (системы) необходимо использовать передаточную функцию по ошибке.

При вычислении интеграла (4) полезным оказывается метод, основанный на типовых

формулах, т.е. таблицах интегралов.

Рассмотрим интеграл

G(i )

(5)

A(i ) A( i )

где

A(i ) a

(i )n

a (i )n 1 ... a

n 1

(i ) a

G(i ) b (i )2n 2

b (i )2n 4 b

(i )2 ... b

n 2

n 1

Замечание.

Для

физически реализуемых

систем

порядок

числителя, как АФХ, так и

спектральной плотности, как минимум на единицу меньше порядка знаменателя, поэтому

для числителя подынтегрального выражения интеграла (5) имеем

(i )n 1 (i )n 2 ... ( i )n 1 ( i )n 2 ...

02 (i )2(n 1) ( 1)n 1 1 (i )n 2 0 ( i )n 1 0 (i )n 1 1 ( i )n 2 ...

b0 (i )2n 2 0 1 (i )2n 3 ( 1)n 1 ( 1)n 2 ... b0 (i )2n 2 b1 (i )2n 4 ...0 n 1 0 n 11 1

Можно показать, что значение интегралов рассматриваемого вида определяется выражением:

bn 1

где

( 1)n

. (6)

2a0

0 0 a3

Поскольку интегралы (4) сводятся к виду (5), то для вычисления их значений можно

пользоваться формулами (6). В частности, для n = 1, 2 и 3

получаем

Л-01

12.02.2015

9 из 25

I1 b0 2a0a1 ,

I2 ( b0 a0b1 a2 ) 2a0a1 ,

a2b0 a0b1 a0a1b2 / a3

2a0 (a0a3 a1a2 )

Пример:

Используя метод спектральных плотностей покажем,

что дисперсии

Dy уст

установившихся случайных процессов на выходе звеньев

a) W (s)

и b) W (s)

Ts 1

T s 2

Ts 1

при условии, что на вход поступает белый шум со спектральной плотностью

S ,

равны

k 2 S

в обоих случаях.

Решение.

D (t)

S ( )d

W (i )

2 S d k 2 S I

G(i )

A(i ) A( i )

Случай а):

n = 1,

A(i ) Ti 1 a0 T , a1 T ,

G(i ) b (i )2n 2

0(i )

... b

1, b

0 .

2a0 a1

Случай b):

n = 2,

A(i ) T (i )2 Ti 1 a

T , a T, a

G(i ) 0(i )2 b (i )0 0 ... b

0, b

b0 a0

2a0 a1

2T1T 2T

Лекция 3

Статистический анализ и оценка точности линейных систем

(продолжение - метод корреляционной системы уравнений)

В рамках статистического

анализа

оценки

точности

линейных

систем нас

интересуют, в первую очередь, статистические характеристики выхода и/или ошибки управления при заданных статистических характеристиках входа. В рамках корреляционной теории под статистическими характеристиками стохастического процесса x(t) мы понимаем,

как правило, m x (t) , Dx t , K x t1 ,t2 , а для стационарных процессов также S x ( ) .

На предыдущей лекции мы рассмотрели два подхода к оценке точности, основанные, соответственно, на соотношении между корреляционными функциями и спектральными плотностями входных и выходных сигналов.

Если на вход стационарной системы подается стационарный случайный процесс x(t) , то мы имеем в общем случае нестационарный случайный процесс y(t), но у которого в режиме, близком к установившемуся ( t )

Л-01

12.02.2015

10 из 25

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.06.20152.04 Mб27lecture_6.pdf
#
03.06.20155.2 Mб29lecture_7.pdf
#
03.06.20151.41 Mб36Lecture_8.pdf
#
27.03.2016170.33 Кб9Lecture_HJ_7.pdf
#
03.06.201523.24 Кб13Lektsia_5_Eumetazoa.docx
#
03.06.20151.11 Mб9Lektsii_Vesna.pdf
#
03.06.2015303.94 Кб5Lektsii_zubova_1.pdf
#
03.06.2015319.88 Кб4Lektsii_zubova_2.pdf
#
03.06.2015450.28 Кб5Leonidov.pdf
#
03.06.2015550.54 Кб3LM1117.pdf
#
03.06.201520.96 Mб96M.A.Leontovich-термодинамика и стат физика.pdf