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Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

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матан Бесов - весь 2012

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☆

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x = 2mπ m Z

k=1 sin kx =

2 sin

sin kx =

2 sin

k=1

cos

k −

x − cos

k +

x ,

2 sin

k=1

sin kx

k=1

sin

x = 2mπ m Z x = 2mπ

! ! "

	∞
	cos kx		, α > 0,		x R.			$
		kα	, α > 0,		x R.			$
		kα
	k=1

				n		1
						1
% x =	2mπ m Z			cos kx			x	$
				k=1		sin	x
				k=1		sin
						2

% x = 2mπ m Z $ &

∞
		1α	α
k=1	k
'( ) '
	% {ak} *

	+
			∞
			ak	sin kx	,	α > 0,	x R,
			ak	kα	,	α > 0,	x R,
			k=1
#,						bk =	sin kx
#,						bk =	kα

-! '( . ) , / " ", 0 /

, " &

, " /

& 0

& 0 "& 0 " 1

2 , /
0			∞

				ak %
%
			k=1
		ak 0,
a+	ak,				a−	ak,	ak < 0,
k	0,	ak		< 0,	k	0,	ak 0.

+ , a+ 0 a− 0 ak = a+ + a−
		k		k		k	k
ak
				ak+	ak−
						%
		ak+			+ ak−
a− = ak − a+
	k		k !0 3

, " , " /

ak "

∞

k=1

A R

+ −

−

k "

! " !

!0 ,

(−βi) "

! " ! !

ak < 0

!0 ,

αi

+ ,

αi =

(−βi) =

ak αi

0 βi > 0

i N

ak 0

ak <0

2 !

αi

(−βi)

+ !0

αi

(−βi) !0 ", 3 /

ak % 3 ", 0 /

αi

(−βi)

A R

α1 + . . . + αm1 − β1 − . . . − βn1 + αm1+1 + . . .

+αm2 − βn1+1 − . . . − βn2 + . . . ,

mi ni N 1 m1 < m2 < . . . 1 n1 < n2 < . . .

! " #

αi " Sn

αm1 #

Sm1 $!#

% A Sm1 > A & ' ! αi

! "
	(−βi) $ "
Sn	−βn1

Sm1+n1 ! %

A Sm1+n1 < A

! ! #

" " αi #

αm2 Sn1+m2 #

$! % A Sn1+m2 > A

( ! #
"	" (−βi)
	−βn2

Sm2+n2 ! % A Sm2+n2 < A

) ' #

% ak ! %

) %

A |A − Sn| * n

max{αm1 , βn1 } n !#

+ max{βn1 , αm2 } ( +

max{αm2 , βn2 }

) ! αi → 0 βi → 0 i → ∞

Sn → A n → ∞ ,

- ! " #

' ! " #

$ $ " % .

/ Sn → +∞ n → +∞0 1 Sn → −∞ n → +∞0

2 $ " !#

! {Sn}

) ! ! " #

{zk} = {xk + iyk} #

z0 = x0 + y0

lim |zk − z0| = 0.

k→∞

3 z0 = x0 + iy0 4

{zk} lim zk = z0 zk → z0

k→∞

k → ∞

) !

|zk − z0| = (xk − x0)2 + (yk − y0)2,

" ! zk → z0 ! " ' %

" ! % % ! " xk → → x0 yk → y0 k → ∞ & % #

( ' ! #

! " !#

" % ! " #

' C " 4

∞

z1 + z2 + z3 + . . .	zk, zk C,	6
	k=1


	∞

!	zk " zk = xk + iyk
	k=1

" " "
∞		∞

#	xk	yk
k=1		k=1

§ $ § $% # &

	∞

'	akbk ak
k N	k=1
k N

( ) "

* + ,

# " Rd d N

- * +
{fn}1∞,	fn : E → C, E Rd.
	.

{fn(x)}∞1 # * x

/ ) " #

E f 0 E → C 1

fn f n → ∞

sup |fn(x) − f (x)| → 0 n → ∞.

x E

" # +∞ &

f : E → C fn f n → ∞.

fn(x) = xn 0 x < 1 !

{fn(x)}∞1 " [0, 1)

[0, 1) #

$ f (x) = 0 x

[0, 1) %

sup |xn − 0| = 1 → 0 n → ∞.

x [0,1)

& ' [0, q] 0 < q <

< 1							sup \|xn − 0\| = qn → 0 n → ∞
						x [0,q]
					$ fn( [0, 1] → R
n N
					0 x = 0 x											1	, 1 ,
					0 x = 0 x											n	, 1 ,
		fn(x) =				1	x =		1	,
						1	x =			,
								1	2n				1
		fn					0,	1			1		1
													,		.
y								2n				2n	,	n	.
y								+ fn(x) → 0 n →
1								+ fn(x) → 0 n →
								→ ∞ x [0, 1]
										sup \|fn − 0\| = 1 → 0
										[0,1)
								n → ∞ !
0								{fn}
		1		1		1	x
	2n		n			1
	2n		n

) *	[0, 1]
, "- . " /

2 0

E f ( E → C

ε > 0 n = n(ε) : |fn(x) − f (x)| < ε x E, n n(ε).

1 2 n = n(ε) ' x E . '

n(ε) n(x, ε) n(ε) '- -1 x

2 -

2 3 !

4 $ 3 $!

4 '$ E #

- - "

fn(x) f (x) 5 . εn sup |fn −

− f | → 0 n → ∞

2 -1 fn f !

fn − f 0

{fn} fn E → C E

ε > 0 nε N : sup |fn − fm| < ε n, m nε.

6 '

fn f

& 7

ε > 0

nε N : sup |fn − f | <

n nε.

" n m nε

sup |fn − fm| sup |fn − f | + sup |fm − f | <

= ε.

$ 8 9

& 7

x E $

ε > 0 nε N : |fn(x) − fm(x)| < ε n, m nε, x E.

# 8 9 !

{fn(x)} x E !

' {fn(x)} '

f (x) fn f n → ∞

m → ∞

ε > 0 nε N : |fn(x) − f (x)| ε n nε, x E.

E	fn f n → ∞
	E
!
∞
	E Rd.
uk, uk : E → C,	E Rd.	"
k=1
# "
E
∞

uk(x), x E,		$

k=1

% x E

" E

& ' ( ) " E

) E )*

Sn n uk +

k=1

, " E

(+ % S- E → C S(x) =

= lim Sn(x) x E

n→∞

# " E

E *

) ) {Sn} + E *

. / *

4 # " E

E
	∞


sup		uk → 0 n → ∞.
E	k=n+1
		∞	(−1)	k+1
			(−1)
( ) k=1
( ) k=1			k + x2
E = (−∞, +∞)
' x E ( 0 '

(

∞	(−1)k+1	1		1
	(−1)k+1	1		1
					→ 0 (n → ∞).
					→ 0 (n → ∞).
n+1	k + x2	n + 1 + x2		n + 1
. )			4
(−∞, +∞)

1' *

' ( x (−∞, +∞)

un 0 n → ∞.

( ) ( un = Sn −

−Sn−1 Sn S Sn−1 S n → ∞

/ *

) +

% ) + % ( *

/ % ) + *

) ' & +

+ 2


	n+p

			< ε n n(ε),	p N.
ε > 0 n(ε) N : sup		uk	< ε n n(ε),	p N.
E	k=n+1
			∞	∞

				uk vk
			k=1	k=1
				∞
E λ μ R
E λ μ R				(λuk +
			k=1

+ μvk) E

! λ μ " ! E #$

% &

2 ' (

) & # (

! *# !

+ , - (

uk E → C vk E → [0, +∞) E Rd

	\|uk(x)\| vk(x) x E, k N.
	∞
		vk E
		vk E
∞	k=1
∞

uk E !
k=1
. x E n N
p N

	n+p		n+p	n+p
			\|uk(x)\|	vk(x).
		uk(x)	\|uk(x)\|	vk(x).
	k=n+1		k=n+1	k=n+1

% + , -/-								(
				vk
					n+p
						vk(x) < ε n n(ε), p N.
ε > 0 n(ε) N : sup						vk(x) < ε n n(ε), p N.
				x E k=n+1
. ' ε n(ε)

		n+p			n+p
sup				sup		\|uk(x)\| < ε n n(ε), p N.
sup		uk(x)		sup		\|uk(x)\| < ε n n(ε), p N.
x E		k=n+1		x E	k=n+1

* ! + ,								uk
	\|uk\| E
0
uk E →
→ C E Rd ak R k N
		\|uk(x)\| ak x E, k N.
		∞					∞

			ak				uk E
		k=1					k=1

1 {fn} #$

f 2 E → C E Rd
n
E
	M R : \|fn(x)\| M x E, n N.
* )
		∞

		ak(x)uk(x),	-
		k=1
! a 2	E → R u	2 E → C E Rd
k	k
! "
# # #			ak(x)

$ x E ak 0 k → ∞

∞

uk E

n+p

ak(x)uk(x) =

k=n+1	n+p			n+p−1		k

= an+p(x)		uk(x) −			(ak+1(x) − ak(x)) uj (x).
	k=n+1			k=n+1		j=n+1
			! "# $
uk(x) M R

		n
				M	n N,	x E.
		uk(x)
		k=1

% !$ $ {ak(x)}

n+p			n+p−1

		2M \|an+p(x)\| + 2M \|ak+1(x) − ak(x)\| =
	ak(x)uk(x)	2M \|an+p(x)\| + 2M \|ak+1(x) − ak(x)\| =
		n+p−1	k=n+1
k=n+1			k=n+1


				=
	= 2M \|an+p(x)\| + 2M		(ak+1(x) − ak(x))	=

k=n+1

= 4M |an+p(x)| + 2M |an+1(x)|.

& ' ! ak 0 k → ∞

	E

	n+p

ε > 0 n(ε) N :			< ε
ε > 0 n(ε) N :		ak(x)uk(x)	< ε

k=n+1

n n(ε), p N, x E.

( ) * +

$ #$ E

{ak(x)}

E Rd x

E {ak(x)}

uk(x) E

! $ {ak(x)} -.

M R

|ak(x)| M k N, x E.


& #$ $ uk ( )
* +
	n+p

ε > 0 n(ε) N :			< ε
ε > 0 n(ε) N :		uk(x)	< ε

k=n+1

n n(ε), p N, x E.

/ ,$ $0

{ak(x)} $ , ! ε > 0 1

n(ε) N

	n+p			n+p−1
			M ε + ε		\|ak+1(x) − ak(x)\| =
		ak(x)uk(x)	M ε + ε		\|ak+1(x) − ak(x)\| =
	k=n+1			k=n+1

			n+p−1
						=
		= M ε + ε		(ak+1(x) − ak(x))		=

k=n+1

=M ε + ε|an+p(x) − an+1(x)| M ε + 2M ε = 3M ε.

( ) * + ,$ $ 0

#$ $ 2 E

	∞
3$	sin kx
	k=1	kα
◦ α > 1 #$ [0, 2π]4

◦ 0 < α 1 , [a, b] (0, 2π) # 0 $ 4

◦ 0 < α 1 [0, δ] δ > 0

∞

◦

sin kx

α > 1

kα

k=1

kα

∞

sin kx

k=1

kα

(−∞, +∞)

◦ 0 < α 1 ! "

#$ %

sin kx

k=1

sin

∞

sin kx

& ' ( ( ( & &

k=1

) ( & [a, b] (0, 2π)

! !

kα

∞

sin kx

[a, b]

kα

k=1

(0, 2π)

◦ 0 < α 1 n N

sin 1

sin kx

sin 1

> 0.

kα x=

kα

k=n+1

+ ! [0, δ] δ > 0 &

	∞
,	sin kx
,	k=1	kα

, - . / [0, δ]

, ( 0 " f % E → → C 1 E Rd &

§ !	"
x(0) E E
ε > 0 δ = δε > 0 : \|f (x) − f (x(0))\| < ε
x E ∩ Uδ (x(0)),	-/
x E ∩ Uδ (x(0)),

& E

& ( E E , ( 0 " f !

f = g + ih ) g h 2 ! ( & 0 " 3( ( & ! 0 " f ( x(0) E

E - E/ ! &

0 " g h ( x(0) E - E/

{fn}

fn E → C E Rd

E f fn f n → ∞

fn x(0) E E

f x(0)

ε > 0
n(ε) N : \|f (x) − fn(ε)(x)\| < ε x E.
x E

+|f (x(0)) − fn(ε)(x(0))| < 2ε + |fn(ε)(x) − fn(ε)(x(0))|.

fn(ε) x(0)

δ = δε > 0 : |fn(ε)(x) − fn(ε)(x(0))| < ε x E ∩ Uδ (x(0)).

! " # $

|f (x) − f (x(0))| < 3ε x E ∩ Uδ (x(0)).

%$ & f x(0)

1 uk uk E → C E Rd E

u	k	x(0) E E
	k
S = uk x(0)
E


fn =				n	uk f = S
fn =					uk f = S
				k=1

! E = [a, b] R
		fn
[a, b] n N fn f n → ∞
		!		!	[a,b]
		!	x	!	x
			fn(t) dt		f (t) dt n → ∞.	"#$

a[a,b] a

% f

! [a, b] & [a, b] % ε > 0 ' &

{fn} f

n(ε) N : |fn(x) − f (x)| < ε x [a, b], n n(ε).

( n n(ε)

	!	x		! x		! b

sup		fn(t) dt −					\|fn(t) − f (t)\| dt < ε(b − a),
sup		fn(t) dt −		f (t) dt			\|fn(t) − f (t)\| dt < ε(b − a),
a x b		a		a		a
) !
				!
		!	x	!	x		fn(t) dt x [a, b]. "*$
	lim		fn(t) dt =			lim	fn(t) dt x [a, b]. "*$
	n→∞ a				a	n→∞

+ , !

§	!

! ,
% fn & ! [a, b]

n N fn f n → ∞ ' & f

[a,b]

& [a, b] ! - "#$ "*$

uk			[a, b]					"
				∞
k N
k N				uk [a, b]
				∞k=1!		x
						x	uk(t) dt
					a		uk(t) dt
			k=1		a
			k=1
[a, b]
!	x	∞		∞		!	x
	x						x
		uk(t) dt =					uk(t) dt x [a, b].
	a	k=1		k=1			a
		k=1		k=1

						% ) fn(x) =		n
						% ) fn(x) =		uk(x)
∞								k=1
∞
		uk(x) ,
f (x) =		uk(x) ,
k=1
.

{fn}

[a, b]

c [a, b] {fn} "

[a, b] ϕ

{fn}

[a, b] [a, b]

f f = ϕ ( lim fn) = lim fn [a, b] n→∞ n→∞

% ϕ

! [a, b] ! / 01

! , ! x		! x
fn(x) − fn(c) =	fn(t) dt	ϕ(t) dt n → ∞.
c	[a,b]	c

{fn(c)}

[a, b]

{fn} [a, b]

!" ! !# f

$ %

n → ∞

f (x) − f (c) = ϕ(t) dt x [a, b].

$ &

% % #

' [a, b] (

f )

f (x) = ϕ(x) x [a, b]

	uk
[a, b] c [a, b]				uk
[a, b]

uk [a, b]
[a, b]

	uk =		[a, b].
	uk =	uk	[a, b].

			n
) ' $ fn =				uk
			k=1
*

+& , f (z) = f (x+

+iy) z = x + iy - &

( . !" ! ! !" ! / !" * ! '

E Rd E C x x(0) E 0 z z0 E $ & % § !" ! § !" /

% !" * ! !" *1

1 %

∞

an(z − z0)n,	!#
n=0

an z0 0 % z 0


!# '% +∞2
	1
R =					, 0 R +∞,
			n	\|an\|		/#
		lim
		n→∞
!# '%
	{z C : \|z − z0\| < R}.					*#

3 % %

$ R = +∞

R = 0 %

1 /# '%

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