Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

матан Бесов - весь 2012

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

16.85 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2918 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

8◦

!			"
	§

		f
P		=	[a, b] × [c, d]	R2 F (y)		=
=	"ab f (x, y) dx y [c, d]
	F [c, d]
			! d ! b
	!!		! d ! b
	f (x, y) dx dy =				f (x, y) dx dy.	#$
	P		c	a

% #$

% a = x0 < x1 < . . . < xk =

=b c = y0 < y1 < . . . < ym = d τ1 = {[xi−1, xi]}k1 τ2 =

= {[yj−1, yj ]}m [a, b]

1 & '

[c, d] ( )! τ = {[xi−1, xi] × [yj−1, yj ]} 1 i k, &
							1 j m
' ) P )
	* !" '
	mij =	inf	f, Mij	=		sup		f.
	[xi−1,xi]×[yj−1,yj ]			[xi−1,xi]×[yj−1,yj ]
( )! ηj [yj−1, yj ]
m		m !	b
			b			!
	F (ηj )Δyj =		f (x, ηj ) dx yj =
j=1		j=1	a	m	k		xi
							xi
			=				f (x, ηj ) dx yj ,
				j=1 i=1			xi−1
!
m	k		m	m	k
mij xi		yj F (ηj )Δyj Mij xi						yj . #+$
j=1 i=1			j=1	j=1 i=1

#+$

! -

Sτ (f )

(f )

' --

Sτ

% |τ | → 0

) ' . / f

P f (x, y) dx dy

0 1$ 2 ! !

#+$ ! -3

' )- 4

Sτ2 (F ) ! |τ2| → 0

-3

F (y) dy =

!- )

a f (x, y) dx

% ! ! #+$ #$
5 5 '
!-3 !
1 f
P =		[a, b] × [c, d] R2 F (x)				=
= "cd f (x, y) dy x [a, b]
F [a, b]
			! b ! d
	!!
	f (x, y) dx dy =			f (x, y) dy	dx.	#1$
	P		a	c
6
1		! d! b		! b! d
!!
f (x, y) dx dy =			f (x, y) dx dy =		f (x, y) dy dx.
P		c	a	a c
% !	. ! .

/ f P

4 1 !

) P " 7

Ω = {(x, y) R2 : a x b, ϕ(x) y ψ(x)}, #$ )! . / ϕ ψ [a, b] ϕ ψ [a, b]

" Oy 5

Ω &


y
d	y = ψ(x)
d
		Ω
c	y =	ϕ	( x	)
	y =
O	a			b	x

Oy f Ω

x [a, b] " ψ(x) f (x, y) dy

ϕ(x)

!!! b ! ψ(x)

f (x, y) dx dy =	f (x, y) dy dx.
a	ϕ(x)
Ω

c = min ϕ,	d = max ψ.
[a,b]	[a,b]

Ω P = [a, b] × [c, d]

˜ →

f P R

˜ f (x, y) (x, y) Ω f (x, y) =

0(x, y) P \ Ω

! f " Ω

! ˜
f ! Ω P \ Ω
P
# " ! x [a, b]			$% ! &
" d ˜		"	ψ(x)
'	c f (x, y) dy =		ϕ(x) f (x, y) dy

!! b ! d

˜	˜
f (x, y) dx dy =	f (x, y) dy dx.

§
!! ( % f˜ " f	&
"

Oy Ω )

* " Ω ) ! !&

! ( % Oy &

Ox ! )

Ω = {(x, y) R2 : c y d, α(y) x β(y)}.

! % + Ω f &

! b ! ψ(x)	! d ! β(y)
f (x, y) dy dx =	f (x, y) dx dy,	,
a ϕ(x)	c α(y)

% ' $+ % ! &

! %- -

. / $% %

n& % %

Ω = {x = (x1, . . . , xn) = (x , xn) : x E, ϕ(x ) xn ψ(x )},

E Rn−1

ϕ ψ % % E % !

Oxn

Oxn Ω

!! ! ψ(x )

f (x) dx =	f (x , xn) dxn dx .
Ω	E ϕ(x )

a c


	F :
		x = x(u, v),
		y = y(u, v)
		y = y(u, v)
G
R2				G
uv
R2
xy			F
	R2		F
	R2	G	G R2 .
	uv			xy

F ! "
◦ F G G #
$◦ F % G#
&◦ J(u, v)	∂(x, y)	= 0 G'
&◦ J(u, v)	∂(u, v)	= 0 G'
	∂(u, v)

(u1, v1) (u2, v2) E G

max max 2|xu|, |xv |, |yu|, |yv |3 κ.

|F(u2, v2) − F(u1, v1)| 2κ|(u2, v2) − (u1, v1)| =

= 2κ (u2 − u1)2 + (v2 − v1)2. $

( ) ' * ) (xi, yi) = F(ui, vi)+ i = = 1, 2' , - .

! .

− u1), v1 + t(v2

− v1))|t1=0 | =

|x2

− x1

| = |x (u1 + t(u2

xu(˜u, v˜)(u2

− u1) + xv (˜u, v˜)(v2 − v1)

√

(u2 − u1)2 + (v2 − v1)2

/	√2κ (u2 − u1)2 + (v2 − v1)2.
\|y2 − y1\|

0 . . % $'

E E G

Q {(u, v) : u0 u u0 + h, v0 v v0 + h} G.

◦ ∂F(E) = F(∂E)

$◦ F(Q)

&◦ μE = 0 μF(E) = 0

1◦ E F(E)

( ) ' )

+ (¯u, v¯) G(¯x, y¯) = F(¯u, v¯) ! . + . !

2 ) )

' 3 ) + E F(E) (¯u, v¯) (¯x, y¯) ) +

+ ) 4) '

1◦

F(Q)' )

F(Q) " 4

" % + 2 " x(u, v)+ y(u, v)' 5

+ ∂F(Q) = F(∂Q) 2. .

.' * μ∂F(Q) = 0'

F(Q) + " 2◦

3 " 3◦ 4◦ ) 4)

) 6'7'$'

8 " 3◦' * + μF(E) = 0'

* ) ρ > 0 + Uρ(E) G' ρ

) ρ = 1+ G = R2+ ρ = 12 dist(E, R2 \G)+

G = R2' ρ > 0 )

E R2 \ G

ε > 0 Bε = %m Pk

Pk! Bε E μBε < ε " P

(a, b) × (c, d) P [a, b] × [c, d]

12 (b − a) d − c 2(b − a).

# Bε = %m1 Pk

Pk diam Pk ρ $

% Pk

E! &

Bε Uρ(E) G.

κ = max max {|xu|, |xv|, |yu|, |yv |}

Uρ(E)

' (! Pk % ) %

hk √

! Rk % 2 5κhk

F(Pk) Rk, μRk 20κ2μPk.

m	m	m
μ F(E) μ 0 Rk	μRk 20κ2	μPk =
k=1	k=1	k=1
		= 20κ2μBε < 20κ2ε.

& ε > 0

μF(E) = μ F(E) = 0.

+ % 4◦

F(E) F(E) % ' % )

% 1◦ 3◦

(u0, v0) G h0 > 0

G Qh

{(u, v) : uh u uh + h, vh v vh + h} (u0, v0)

h (0, h0]
	μF(Qh)	= \|J(u0, v0)\|.
lim	μF(Qh)		,!
lim			,!
h→0+0	μQh

./ 0 . '

1 § ./ 0 . n

% % 2 %

. h →	0
μF(Qh) \|J(u0, v0)\|μQh + o(h2).	3!

- 4 (u0, v0)

1 Qh * F 5

5 1 $

x = x0 + a11(u − u0) + a12(v − v0)+



	+ ε1(u − u0, v − v0) (u − u0)2 + (v − v0)2,
F :	+ ε1(u − u0, v − v0) (u − u0)2 + (v − v0)2,
y = y0	+ a21(u − u0) + a22(v − v0)+


	+ ε2(u − u0, v − v0) (u − u0)2 + (v − v0)2,
	+ ε2(u − u0, v − v0) (u − u0)2 + (v − v0)2,

a11 = xu(u0, v0) a12 = xv (u0, v0) a21 = yu(u0, v0) a22 = = yv (u0, v0) εi(u − u0, v − v0) → 0 (u, v) → (u0, v0)

+ F %

ˆ	x = xˆ(u, v) = x0 + a11(u − u0) + a12(v − v0),
F :	y = yˆ(u, v) = y0 + a21(u − u0) + a22(v − v0).
	y = yˆ(u, v) = y0 + a21(u − u0) + a22(v − v0).
6 %
		ˆ
		ˆ
		μF(Qh)	a11	a12
			= \| a21	a22 \| = \|J(u0, v0)\|.
		μQ	= \| a21	a22 \| = \|J(u0, v0)\|.
		h


ˆ
			F(Qh)
F(Qh)
ε(h)	sup	max{\|ε1\|, \|ε2\|},			ε(h) → 0 h → 0.
	\|u−u0\| h,
	\|v−v0\| h
(u, v) Qh							√
		√					√
\|x(u, v) − xˆ(u, v)\| ε(h) 2h, \|y(u, v) − yˆ(u, v)\|							ε(h) 2h.
! " # " $ " #
	F	(Qh) U3ε(h)h		ˆ			%
	F	(Qh) U3ε(h)h		F(Qh) .			%
y	3		' $
	3					ˆ
	ε
	(
	h		μF(Qh) μ U3ε(h)h F(Qh)
	)
	h				ˆ	2
					ˆ
				μF(Qh) + o(h ) =
3ε(h					= \|J(u0, v0)\|h2 + o(h2),
)h
			$
			( #
O		x	) * + !
O		x	J(u0, v0) = 0"
			J(u0, v0) = 0"
&			# μF(Qh)
* μ F(Qh)
§


F	x = x(u, v),
F	:

y= y(u, v)

G R2uv

G R2
		Ru,v2 G	F	xy
			F
			G Rx,y2 ,



◦	F G G
,◦	F G

-◦ J(u, v) =	∂(x, y)	= 0 G
	∂(u, v)

◦ f G %◦ f (F)J G

f (F)(u, v) f (x(u, v), y(u, v)).

!!	!!
			∂(x, y)
			∂(x, y)
f (x, y) dx dy =		f (x(u, v), y(u, v))		du dv.
f (x, y) dx dy =		f (x(u, v), y(u, v))	∂(u, v)	du dv.
G	G		∂(u, v)
G	G
. )	*	/ # $0

$! $ #

* + + ) + +

$ %

. ) * /$ # *" # f > 0

G 1 # /0 2 "

M > sup |f |, f (x) = f1(x) − f2(x),

			G
		f1(x) = f (x) + M > 0, f2(x) = M > 0,

$ 3$ f1 f2"
) f = f1 − f2
		4	" #	!!
!!
	f (x(u, v), y(u, v))\|J(u, v)\| du dv			f (x, y) dx dy,	,
Q			F(Q)
Q = {(u, v)5 u1 u u1 + h" v1				v v1 + h} G

&$ " " # ,

$4 "	ε0 > 0
!!	f (x(u, v), y(u, v)) \|J(u, v)\| du dv
(1 + ε0)	f (x(u, v), y(u, v)) \|J(u, v)\| du dv
	!!
Q	f (x, y) dx dy.	-
	f (x, y) dx dy.	-
	F(Q)
& ) /* Q # + )$ +		/

) # # ) Q(1) ) +" k = 1

(1 + ε0) !! f (x(u, v), y(u, v)) \|J(u, v)\| du dv
		!!
Q(k)		f (x, y) dx dy.

F(Q(k))

Q(1)

k = 1 !" Q(1)

Q(2) # $ # # k = = 2 % #

{Q(k)}∞

1 &

' ' # #( #

) Q(k) (u0, v0) Q(k)

k N * # $

(1 + ε0)f (x(¯uk, v¯k), y(¯uk, v¯k))|J(¯uk, v¯k)|μQ(k)

f (˜xk, y˜k)μF(Q(k))

(˜xk, y˜k) F(Q(k)) (¯uk, v¯k) Q(k)

+) # μF(Q(k)) !( ', k → ∞

(1 + ε0)[f (x0, y0) + o(1)][|J(u0, v0)| + o(1)]

[f (x0, y0) + o(1)] [|J(u0, v0)| + o(1)] ,

f > 0 |J| > 0 -

.- / $ % ! A 0

( # -

'1 ' . A G & $

$# -

! .

f (x(u, v), y(u, v))|J(u, v)| du dv

G !!	!!
	f (x(u, v), y(u, v))\|J(u, v)\| du dv f (x, y) dx dy. 2
A	F(A)

- / $ % ! A 0 " A

	A	G %	!!
!!		f (x(u, v), y(u, v))\|J(u, v)\| du dv
			f (x, y) dx dy. 3
	G		A

& 2 ! " # -

AA G

F(A)	A	,	F−1(	A		) A G.		4
% 5 6			F−1(		A		)	-
', . 7 !

dist(F−1(A ), R2u,v \ G) = ρ > 0.

% A ( !"

! R2u,v !(

$!( # ρ2 A

! " 8 (

F−1(A ) 7 / 4 -

- / $

f (x(u, v), y(u, v))|J(u, v)| du dv

f (x, y) dx dy.

: # ( $ k N !

G , μ(G \ A ) <

% ! 0 < f M

f (x, y) dx dy −

f (x, y) dx dy =

f (x, y) dx dy

G \A

→ 0 k → ∞.

% 3 A

A #

k → ∞ " , ) 1


F−1
	∂(u, v)		∂(x, y)	−1	1
		=			=
	∂(x, y)		∂(u, v)			J(u, v)

F(G) ! " g(u, v) f (x(u, v)# y(u, v))|J(u, v)|

$%	!!
!!	!!
				∂(x, y)
				∂(x, y)
f (x, y) dx dy		f (x(u, v), y(u, v))				du dv.	&
f (x, y) dx dy		f (x(u, v), y(u, v))		∂(u, v)		du dv.	&
G	G			∂(u, v)
G	G
' & $							(
$ )
				* +
	!!	!!
			∂(x, y)
			∂(x, y)
μG =		1 dx dy =			du dv.
μG =	G	1 dx dy =	∂(u, v)		du dv.
		G	∂(u, v)
		G
, $ -			* +
int Qh $ $
	μF(Qh) = \|J(˜uh, v˜h)\| μQh,
Qh	(˜uh, v˜h) → (u0, v0) h → 0.

. $ * +

1◦ 2◦ 3◦

f G

f (x(u, v), y(u, v))J(u, v) G.

,$ - / $ $0

$ - $% # 1 $

2 %-# % f 0# 1 $% !

" f $- $ 3

1- $ f = f+ −f−# f+ = 12 (|f |+f ) 0f− = 12 (|f | − f ) 0 - Q 4 # %

§
5 # % 1 $ %

5 % $ 5 ( %

|J|−1 Q 1 $ $ % 5 $

1 $

Q f (u, v) du dv#

f (u, v) f (x(u, v), y(u, v)) = f

|J| ·

|J|

- Q = F(Q)# -

τ = τ (Q) = {Ei}1iτ, τ = τ (Q ) = {Ei }1iτ

= {F(Ei)}ii=1τ

4 Q Q ( $ * + #

0 F−1# $% # %

diam Ei

K diam Ei K#

|τ | K|τ |.

-# ω(f ; Ei)# ω(f ; Ei ) 4 $ ! " f # f

Ei# E

iτ

i ) !!

iτ

|J(u, v)| du dv

ω(f ; Ei )μEi =

ω(f ; Ei)

i=1

iτ

max |J|

|τ

| → 0,

ω(f ; Ei)μEi → 0

i=1

$- 3 6 |τ | → 0

7 $ ! " 1

$ % 5

7$- 5 # 8

Ei %-

- %

(ui, vi)

max |J| = |J(ui, vi)|#

xi =

= x(ui, vi)# yi = y(ui, vi)

iτ

)

iτ

|J(u, v)| du dv

f (xi, yi)μEi =

f (xi, yi)

i=1

iτ f (x(ui, vi), y(ui, vi))|J(ui, vi)|μEi.

i=1

|τ | → 0 |τ | → 0)

!" ! #

$ $ %

& ' '"$ ( $ 9◦ § #) *( $

G Gi n

G1 G2 . . . G μ(G \ Gi) → 0 i → ∞ f

G Gi

f G

		lim	f dx =		f dx.
		i→∞
		Gi		G
+
!
, ' '" #)-# #						n $
$
. F/ (x = x(t)) ' ' &
		Rn G		F	Rn
		Rn G		G	Rn
		t			x

% & G Rn
& G Rxn $/					t
& G Rxn $/
#◦	F ' & G G 0
◦	F (( 1 G0
2◦ J(t) =		∂(x1, . . . , xn)	= 0 G
2◦ J(t) =		∂(t1, . . . , tn)	= 0 G
		∂(t1, . . . , tn)

1◦ 2◦ 3◦

t(0) G G Qh = {t! t(ih) ti t(ih) + h i = 1, . . . , n} t(0)

" h (0, h0]

lim μF(Qh) = |J(t(0))|.

h→0 μQh

1◦ 2◦ 3◦

G G f

G f (x(t))J(t)

G	!	!
	!	!
	f (x) dx =	f (x(t))\|J(t)\| dt.
	G	G

1◦ 2◦ 3◦

G G J

μG =	dx = \|J(t)\| dt.
G	G

1◦ 2◦ 3◦

G G f

G f (x(t))J(t) G

	!	!
	f (x) dx =	f (x(t))\|J(t)\| dt,
	G	G

" # " $

+ % ,

n = 2

Γ = {r(t) : a t b} = {(x(t), y(t), z(t)) : a t b},

! |r (t)|2 = x 2(t)+y 2(t)+

+ z 2(t) > 0 t [a, b]

		F
" Γ #
!	! b
F (x, y, z) ds F (x(t), y(t), z(t))\|r (t)\| dt			$
Γ	a

F % Γ

& ' ( %

" % % % % %

! " %!

) % %

$ "

◦ * ' Γ F (x, y, z) ds

! F (x(t), y(t), z(t))

t %

[a, b] + ! F Γ

,- $! Γ F (x, y, z) ds '

$◦ . % %

% % Γ

§
* t	= t(τ ) /
Γ § 0$!	t1 [α, β]	↔ [a, b]!

t [α, β]! t = 0

[α, β] t(α) = a! t(β) = b t

> 02 t(α) = b! t(β) = a

t < 0! ρ(τ ) = r(t(τ )) #

! β

Γ = {ρ(τ ) : α τ β}.

& !

F (x(t(τ )), y(t(τ )), z(t(τ )))|ρ (τ )| dτ =

F (x(t(τ )), y(t(τ )), z(t(τ )))

(t(τ ))

|t (τ )| dτ =

= (sgn t

) F (x(t(τ )), y(t(τ )), z(t(τ )))

(t(τ )) t

(τ ) dτ =

! t(β)

F (x(t), y(t), z(t))|r (t)| dt =

= (sgn t )

t(α)

F (x(t), y(t), z(t))|r (t)| dt.

3 4

5 % F

6- * 7 %

% F (x(t), y(t), z(t))

(' '

[α, β] ϕ = 0 [α, β] ϕ(α) = a ϕ(β) = b

! b	! β
f (x) dx =	f (ϕ(t))ϕ (t) dt	8
a	α

!Γ " #

" $ %

t# t = t(τ ) = −τ

"−b τ −a# $& %

& ! ' 2◦ ' %

& τ

& ( t

) '

& S & rˆ(a) *

Γ & + ,

Γ= {r(s) : 0 s S} = {(x(s), y(s), z(s)) : 0 s S},

S - ' " #

!! S

F (x, y, z) ds =	F (x(s), y(s), z(s)) ds.	".#
/◦ " Γ	0
Γ ds = S S - Γ

0 1 % ' ".# F = 1

.◦ "
	iτ
	Γ F (x, y, z) ds = lim	F (x(ξi), y(ξi), z(ξi))Δsi
	\|τ \|→0 i=1
τ	= {si}ii=0τ - + [0, S] si = si −

− si−1 - ' Γ rˆ(si−1)

rˆ(si) si−1 ξi si

2 '

".# &

' ".#

) 3 ' '

& 1 ' ".# !

' Γ + 4 + '

Γ = {r(t) : a t b} = {(x(t), y(t), z(t)) : a t b} " #

- ( %

A = rˆ(a) - B = rˆ(b) - $ 3


& & + & AB										6	' %
'				dx	dy			dz
	r (t)
t =	\|r (t)\|		=		,		,		= (cos α, cos β, cos γ)		" #
				ds		ds		ds
"		' %
'#		t

5 R3 1 %

" %1$# a = (P, Q, R) *

Pdx + Q dy + R dz

Γ! b

[P (x(t), y(t), z(t))x (t) + Q(x(t), y(t), z(t))y (t)+

a	!	b
	+R(x(t), y(t), z(t))z (t)] dt =	(a,r ) dt "/#
		a

a = (P, Q, R) ' Γ 7 "/#

+ & Γ(a, dr)

a & '%

	1$' P Q R %
, !		!	b
Γ	P dx		P (x(t), y(t), z(t))x (t) dt,	".#
Γ			a

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2918 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.08.201977.21 Кб9Лето 10 класс.docx
#
03.06.201562.17 Кб12Линал экзамен.pdf
#
09.11.20191.25 Mб39Логарифм. нерав.9.doc
#
17.07.20192.02 Mб6ман.docx
#
03.06.2015241.78 Кб40Массивы.pdf
#
03.06.201516.85 Mб31матан Бесов - весь 2012.pdf
#
03.06.201584.55 Кб14МатСтатистика. Программа.pdf
#
27.03.20165.39 Mб58Мессиа том 1.pdf
#
08.11.2018434.18 Кб18Метод.реком.по самост.работе -МПОСР-2011.doc
#
27.03.2016656.27 Кб115Методические указания. РТ цепи и сигналы. Озерский.pdf
#
27.11.2019594.94 Кб13Методичка по Деталям машин и ОК исправленная.doc