матан Бесов - весь 2012

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

{r(u, v) : (u, v) D}

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

16.85 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 2921 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

G R3 G F G → R

Fx2 + Fy2 + Fz2 > 0

S= {(x, y, z) : (x, y, z) G, F (x, y, z) = 0}

x2 + y2 + z2 = R2 R > 0

"	" #
	F (x0, y0, z0) = 0 Fz (x0, y0, z0)	= 0

U ((x0, y0)) × U (z0) F (x, y, z) = 0 $

z= f (x, y), (x, y) U ((x0, y0)),

f % U ((x0, y0))

	Fx		Fy
	Fx		Fy
fx = −	F	, fy = −		F	.
	z			z

# & &'( ' )**

grad F = Fxı + Fyj + Fz k.

+ (x0, y0, z0)

(x − x0)Fx(x0, y0, z0) + (y − y0)Fy (x0, y0, z0)+

+(z − z0)Fz (x0, y0, z0) = 0,

x − x0		y − y0		z − z0
Fx(x0, y0, z0)	=	Fy (x0, y0, z0)	=	Fz (x0, y0, z0)	.

, F

" F (x, y, z) = c

-". grad F !

grad F -

0 & !

.0 % *

∂D !

∂S S &(* 0 !

	(u, v) ∂D}.
∂S {r(u, v) :		&'*
1 ∂S !
R3

∂D 2 ! r(u, v)

D 3

Si = {ri(u, v) : (u, v) Di}, i = 1, 2,

0 ∂S1 ∩ ∂S2 = = S1 ∩ S2 = 4

	5 4 S =	Si !
Si &1 i		i=1
	I*
".
(◦ "	Si Sj . !

Si = Si1 Si2

Sij = Sj

◦ i = j ∂Si ∩ ∂Sj

Si Sj

◦ ∂Si ∩ ∂Sj ∩ ∂Sk

! ∂(i)Sj " ∂Sj Sj
# S $
	%	∩ ∂Sj ) % ∂(i)Sj
	(∂Sk	∩ ∂Sj ) % ∂(i)Sj
	k=j						\ ∂(i)S
	∂S ∂(e)S		j		∂S	j	\ ∂(i)S	j &
	j		j			j		j &
∂Sj
#				S
∂S % ∂(e)Si	' # ∂S
I

i=1

( ) S

* + # #

# "

, - #

S ∂S #

" " Si Sj . / ∂Si ∩ ∩ ∂Sj ( 0 * 0"

( ∂Si ∩ ∂Sj

. # /* - ∂S

z = 0 "1

" $ # )

" ! 0 "

#0 1 # 0

# #

2 # #

" # 3 " 1

# 180◦ " 1 % 4

" " # +

2 4 #

" #

5 " 1 #

S (6* 1 # ∂S

-" ∂D

" " # D +

1 1 ∂S ( #

∂D R3* 7

1 ∂S

	ru	×rv
n =	\|r	×r	\|	-
	u	v

1 ∂S

−n S

8 #

-" S & #

( 6 9* D & ∂D &

" 3 1 f 33 1 D -

" # 1 ( * ∂D

" D ) " #

' # ∂S # 1

" " # Oz 1 # ∂S

" z = 0 ∂D ! 1 ∂S

∂S

) # 1 # 1 ) #

∂D #


	−fxı − fyj + k
n =	$

		2
2		2
	1 + fx	+ fy

n S

∂S

n ! "

∂S#

$ ! %

∂S

! n

! S &

' ( "

! !

)# ∂S

* *

+ " !

! rˆ(u0, v0) ∂S (u0, v0) ∂D#


	* √								, v0) =
	* √			&				! ! (n, k)(u0	, v0) =
=	∂(x, y)		2		2		2
		=	A + B			+ C		> 0 !
	∂(u, v)	=	A + B			+ C		> 0 !

, ! # ' )-. .

((

! ! ε > 0

)◦ F :

x = x(u, v),

y = y(u, v)

∩

↔

Uε(u0, v0)

↔

∂D ↔ ∂D

ε /

∂D

x,y !

ε 0

-◦ ∂(u, v)

∂(x, y)

> 0 Dε

∂(u, v)

> 0 Dε

Sε {r(u, v) : (u, v)

} S.

Dε

2 u, v x, y

Sε § -) .# Sε

Sε = {(x, y, f (x, y))

: (x, y)

Dε

(x, y, f (x, y)) = rˆ(u(x, y), v(x, y)) = ρˆ(x, y)

3 Sε ! ( -)-4#

, ! ,

n -) . .# 2◦

+ ∂Dε ∂Dε

Dε 2◦

! F% Dε ↔ Dε

§ -5 6#

S & ∂S

! ,

2 S )#

, #

∂S ," ! # ' 7

, ∂S

Sν1 Sν2

1 2

ν1 ν2

" ∂S1 ∩ ∂S2

%I	$! " S =
= i=1 Si %
# ν1	νI S1 SI

! # νi νj

Si Sj "

& ν = {νi} #

Si i = 1, . . . , I %

ν S &

# (−νi) Si i = 1, . . . , I

( ! " S

) * # ν

+ ! * ! Sν

$ ∂S ! "

S ! " ! ,

' - ! "

! ! "

∂Si " # "

# Si #

& #

# ∂S &

' # ∂S

∂S

Sν


S = {r(u, v)	: (u, v) D},		.
" D ! )


# ru rv D ru ×rv =		0 D
/ (u, v)

. u = u(u1, v1) v = v(u1, v1) (u1, v1) D1

	! %*
D1
! ) # F 0 E → R
S 1 " "
!!
F (x, y, z) dS
!!	F (x(u, v), y(u, v), z(u, v))\|ru ×rv \| du dv
S
		2
D

) # F S
3 "
" 2
.◦ 4 % " ""
	S F (z, y, z) dS

! ! ) # F (x(u, v) y(u, v) z(u, v)) ) # u v

" D

/ ! F S

.5 6 2 " S F (z, y, z) dS % 2◦ " " 2

# " .

S= {ρ(u1, v1) : (u1, v1) D1},

ρ(u1, v1) = r(u(u1, v1), v(u1, v1)) =

= (ϕ(u1, v1), ψ(u1, v1), χ(u1, v1)),

u = u(u1, v1),

v = v(u1, v1)

		! " #$ $ " % & # '
( (
!!			, v1), χ(u1, v1))\|ρ			×ρ	\| du1 dv1 =
F (ϕ(u1, v1), ψ(u1			, v1), χ(u1, v1))\|ρ			×ρ	\| du1 dv1 =
D1!!					u1	v1
D1!!
= F (ϕ(u1, v1), ψ(u1, v1), χ(u1, v1))×
D1				∂(u, v)
D1				∂(u, v)
	×\|ru		×rv \|		du1dv1=
	×\|ru		×rv \|		du1dv1=
		!!		∂(u1, v1)
	=		F (x(u, v), y(u, v), z(u, v))\|ru ×rv \| du dv.

" (

!!!!

μS dS =	\|ru ×rv \| du dv.	$
S	D

) * 1◦ 2◦ *

S +

, - '

! * $ . '

Ouv " m N

j − 1

k − 1

Q(m)

= (u, v) :

, j, k Z.

j,k

§
z
v
u	ruh	v = const
= const	ruh	v = const

rv h

hEi h

	O	y
O	u
	x
. ##		. ## #

" ( D ∩ Q(j,km) '

( ( Ei i = 1 im ( τm = = {Ei}iim=1 D m (

Ei ∩ ∂D = Ei *

Ei = {(u, v) : ui u ui + h, vi v vi + h} D.

/ " (ui, vi) /

Ei ' r(u, v) (

r(ui + h, vi) −r(ui, vi) = ru(ui, vi)h +o(h), r(ui, vi + h) −r(ui, vi) = rv (ui, vi)h +o(h).

0 Ei 1 2 '

- * S

( rˆ(ui, vi) " ru(ui, vi)h rv (ui, vi)h |ru ×rv |(ui,vi)μEi

3 - Ei ∩ ∂D = Ei U2−m+1 (∂D) (

(ui, vi) ( ( Ei

μ U2−m+1 (∂D) → 0 m → ∞ 4 #$ (

. ( m → ∞

	×r \|				→	!!	×r	\| du dv.
\|r	×r \|	(ui,vi)	μE	i	→	\|r	×r	\| du dv.
u	v	(ui,vi)		i		u	v
1 i im						S
Ei U2−m+1 (∂G)

× r | du dv

! dS"

dS = |ru ×rv | du dv =

∂(y, z)

∂(z, x)

∂(x, y)

du dv =

∂(u, v)

EG − F 2du dv,

#! E F G $ % & '

( % ! (

) * ( #

# !

% # !

* S =

§ +

% (

i=1 Si

! % %

* * #

% ! % % Si

1 i I

, #

-!. % # !% (

* S =

i=1 Si ! % %

μSi

-! ( %

! # % %

i=1


			S = {r(u, v) : (u, v) D},
D									r
	r								r
								u	v ! !

D ru ×rv =			0 D
				ru ×rv
				ru ×rv
		n =		\|r	×r \|		= (cos α, cos β, cos γ).			"
				u		v

# S $ !

! % ! & ν = ±n

% % '

% Sν

( % ν = n Sn !

% ) % S+

% ν = −n S−n !

% ) % S−

a(x, y, z) = P (x, y, z)ı + Q(x, y, z)j + R(x, y, z)k.

a %

Sν % * %

S ν !

(a,ν) dS. +

( & !

, $ P (x(u, v) y(u, v) z(u, v)) Q(x(u, v) y(u, v) z(u, v)) R(x(u, v) y(u, v) z(u, v))

! u v ! D %

P Q R ! ! S

- + ν −ν )

- + !% !& % & &

& ! $&

- + !

& Sν

( % ) &

S+ ν = n !& S+

P (x, y, z) dy dz + Q(x, y, z) dz dx + R(x, y, z) dx dy

S+

(na,) dS. .

P dy dz + Q dz dx + R dx dy =

S+

=[P (x, y, z) cos α + Q(x, y, z) cos β + R(x, y, z) cos γ] dS =

S!!

=P (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) ∂(y, z) +

∂(u, v)S

+Q(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) ∂(z, x) + ∂(u, v)

+R(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) ∂(x, y) du dv.

∂(u, v)

! " # $% & & '

' "% '

(

#$ % ##$ % ' "%

% ##$

) & %

% *

=ı	∂			∂		∂
=ı	∂x		+j	∂y	+ k	∂z	.

+ #$ u , "

grad u = u,

- " " . /

' - #$ - u

" a* G → R3% G R3

( e = (cos α, cos β, cos γ)

(x0, y0, z0) G
a∂(x0, y0		, z0)	d

				a(x0	+ t cos α, y0	+ t cos β, z0	+ t cos γ)	,
	e∂
			dt					t=0

##$ , #$

a∂e∂ = ∂xa∂ cos α + ∂a∂y cos β + a∂∂z cos γ = (e, )a,

(e, ) = cos α ∂x∂ + cos β ∂y∂ + cos γ ∂z∂ .


b = (bx, by , bz )

		a∂			a∂				a∂
(b, )a bx			+ by				+ bz
		∂x			∂y				∂z

a b
a = (ax, ay , az )

diva	∂ax		+	∂ay		+		∂az
	∂x							∂z
				∂y

diva = ( ,a).

a = (ax, ay , az )

∂

rota ×a =

∂x

∂y

∂z

ax ay az

∂az

−

∂ay

∂ax

−

∂az

∂y

∂z

∂x

	∂ay	−
			∂ax
+ k				.
	∂x		∂y

Γ ! G " #

	!	!
		ax dx + ay dy + az dz (a, dr)
	Γ	Γ

a = (ax, ay , az )

& ! $ #

! #

( )! #

) *+ #

) #

( #

! , # ! !

-& & #

. & ! / #

! 0

rot(fa) = × (fa) =

↑ ↓ ↑ ↓ ↑ ↓ ↑ ↓

=×(f a) + ×(f a) = ( f ) ×a + f ( ×a) =

=( f ) ×a + f ( ×a) = grad f ×a + f rota.

1 f a

↑ 2 3 ( #

. 4 ↓5 !/ af 6 ↓ #

7 ! !

↓

4 f f 5 #

↑

! ! . ↓

)! & !

(-			= 1 + 2 + 3
1 = ı	∂	2		∂	3		∂
			= j			= k		8
	∂x			∂y			∂z

( #

( ( 1 23 ( . #

& 1 2 3

! "

! #

! # " $% & % '

(

S = {(x, y, f (x, y)) : (x, y) D}, )%*

! D + ! " # ∂D +

" ! #

# , f

D , D

' " !	!
	) $% & %*# f
, D#
		D
' " ! !

{(x, y, z) : x2 + y2 + z2 = 1, z 0}.
	!

a(x, y, z) = 0ı + 0j + R(x, y, z)k " " !

)%* −fxı − fyj +


+ k !
!!
R(x, y, f (x, y)) dx dy.	)$*
D

- !

! # " ! ! ! ) )$$ $.* P ≡ Q ≡ 0# (u, v) =

= (x, y)*

/ )$*

' Sε + " )%*

Sε = {(x, y, f (x, y)) : (x, y) Dε},

! ε > 0# Dε = {(x, y) D: dist((x, y), ∂D) > ε} +

0 ! Sε + !

Rk " Sε ) !

$$ $%*1

R(x, y, f (x, y)) dx dy.

Dε

' ε → 0 ! )$*

R(x, y, f (x, y)) D μ(D \Dε) →

→ 0

2# . "

! " " !

# x = g(y, z)

y = h(z, x)#

P (x, y, z)ı# Q(x, y, z)j

3 " !

$% &$ ! # " !

G R3

G = {(x, y, z) R3 : ϕ(x, y) < z < ψ(x, y), (x, y) D} )4*

Oz ) " 1 Oz

*# D + ! " # ∂D +

" ! # , ϕ# ψ

D , D# ϕ < ψ D

5 " ! "

Ox Oy

6 # ! , ∂G = S1 S2 S0 Oz

G S1# S2 S0

Oz ∂D! "

S0 #

y, z z, x !

$ R3 G ∂G

% ∂G!

$ G G

∂P

∂Q

∂R

a = ıP + Qj + Rk

∂x

∂y

∂z

τx

= {

x,m}mm=1x τy = {

y,m}mm=1y

τz = {

z,m}mm=1z

Gx,m

Gy,m Gz,m Ox Oy Oz


	a = ıP+Qj+Rk
		∂P ∂Q ∂R		n !
G		∂P ∂Q ∂R	G

		∂x ∂y ∂z
		∂x ∂y ∂z

" ∂G

!!!!!

diva dx dy dz =	(na,) dS	&'(
G	∂G

) ! " %

a = Rk ! ! ıP Qj

* &'(


	§
	+ % ! $ G Oz & !

'(! ,

* -./
!!!	diva dx dy dz =		!!!		∂R	dx dy dz =
	diva dx dy dz =		!			dx dy dz =
	G	!!	!	G ∂z
	!!	=	ψ(x,y) ∂R
							dz dx dy =
							dz dx dy =
		D	ϕ(x,y) ∂z					!!
	=	R(x, y, ψ(x, y)) dx dy −						R(x, y, ϕ(x, y)) dx dy.
		D						D

$ S1 S2 S0

∂G! 0

n % & % G( !

!!!1

diva dx dy dz =		!!
G	!!	!!
=	R(x, y, z) dx dy +	R(x, y, z) dx dy =
	Sn2 !!	!!Sn1	!!
	= (na,) dS +	(na,) dS +	(a,n) dS,
	S2	S1	S0

! ! (a,n) = = 0 S0! 2 % + * &'(

3	% ! $ a =
				mz

= Rk τz = {Gz,m}m=1 G

! , % +

!!!mz !!!

	diva dx dy dz =	diva dx dy dz =
G	m=1	Gz,m	!!

	mz !!
		(a,n(m)) dS =	(na,) dS.
	=
	m=1	∂Gz,m	∂G

4 n(m) %
∂Gz,m Gz,m!		$

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 2921 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.08.201977.21 Кб9Лето 10 класс.docx
#
03.06.201562.17 Кб12Линал экзамен.pdf
#
09.11.20191.25 Mб39Логарифм. нерав.9.doc
#
17.07.20192.02 Mб6ман.docx
#
03.06.2015241.78 Кб40Массивы.pdf
#
03.06.201516.85 Mб31матан Бесов - весь 2012.pdf
#
03.06.201584.55 Кб14МатСтатистика. Программа.pdf
#
27.03.20165.39 Mб58Мессиа том 1.pdf
#
08.11.2018434.18 Кб18Метод.реком.по самост.работе -МПОСР-2011.doc
#
27.03.2016656.27 Кб115Методические указания. РТ цепи и сигналы. Озерский.pdf
#
27.11.2019594.94 Кб13Методичка по Деталям машин и ОК исправленная.doc