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Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

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Пособие по формулам Тейлора

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03.06.2015

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-®¢ë© ¨-¤¥ªá áã¬¬¨à®¢ -¨ï ¡ãª¢®© k

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k=0

(¡1)k ¢ 18 ¢ tk lnk 3

+ o(tn) =

k=0

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(¡1)k+2¡2

¢ 9 ¢ tk+2 lnk+2¡2 3 + o tn+2

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k=0

(¡1)k ¢ 18 ¢ tk lnk 3

+ o(tn) =

k=0

= n+2 (¡1)k¡2 ¢ 9 ¢ tk lnk¡2 3

+ o tn+2

k=2

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(¡1)k ¢ 18 ¢ tk lnk 3

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2 ¢ ®ªà¥áâ-®áâ¨ â®çª¨ x0

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•à¥¤áâ ¢¨¬ ä®à¬ã«®© Œ ª«®à¥-

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t2k + o t2n+1

g (t) = t2 ¡ 2

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k=2

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g (t) =

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(¡1)k (2k ¡ 3)!!

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k=2

(¡1)k (2k ¡ 3)!!t2k + o t2n+1

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k=2

= 2 + 2t2

+ n+1

(¡1)k¡1 (2k ¡ 5)!!

t2k + o

t2n+1

¡ 2

1)!

k=3

(¡1)k (2k ¡ 3)!!t2k + o t2n+1

2k¡1

= 2+ 2t2

k=2

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t2n+1

(¡1)k (2k ¡ 5)!! (k

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k=3

2k¡1

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f (x) = 2 + 2 (x

1)2

(x ¡ 1)4

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x!0	g(x) ¨ ¢¨¤
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sin x = x

;

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+ o x6

¡x3

cos x = 1

+ o x5

;

sh x = x +

+ o x6

;

120

2x5

ch x = 1 +

+ o x5

;

2x5

tg x = x +

+ o x6

;

3x5

th x = x

+ o x6

;

arcsin x = x +

+ o x6

;

¡x23

x35

x4¡

arctg x = x

+ o x6

;

ln (1 + x) = x

+ o x4

;

x3¡

¡ 2 ¡ x33

¡ 3x5

ln (1

x) =

+ o x4

;

ln ³x + p1 + x2´ = x ¡ 6 + 40 + o¡x6¢;

tg (sh x) ¡ arctg x

1= 1 ¡ x + x2 ¡ x3 + x4 + o¡x4¢;

1 + x

1= 1 + x + x2 + x3 + x4 + o¡x4¢;

1 ¡ x

= 1 +

+ o x3

1 + x

;

¡3x2

5x3

p1 + x = 1 ¡ 2 + 8 ¡ 16 + o¡x3¢:

3.2.•à¥¤¥« äã-ªæ¨¨ ¢¨¤ f(x)

g(x)

‡ ¬¥ç -¨¥ 18. ‚ ¤ --®¬ à §¤¥«¥ ¢® ¢á¥å ¯à¨¬¥à å ¬ë ¨á¯®«ì§ã¥¬ ®¡®§- ç¥-¨¥ f (x) ¤«ï ç¨á«¨â¥«ï ¤à®¡¨ ¨ g (x) ¤«ï

§- ¬¥- â¥«ï.

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x cos x ¡ arctg x

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¤® ¯¥à¢®£® §- ç¨¬®£® (-¥

-ã«¥¢®£®) ç«¥- : g (x) = ¡x3 + o x3

¤áâ ¢¨¬ ä®à¬ã«®© Œ ª«®à¥-

—¨á«¨â¥«ì ¤à®¡¨ â ª ¦¥ ¯à¥ ¡

¤®

o x3

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cos x

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¤áâ ¢¨âì ¤®

o x

¡x2

cos x = 1 ¡

+ o¡x ¢;

arctg x = x ¡

+ o¡x

¢:

+ o x3

x +

+ o x3

f (x) = x ¡

¢ 3

lim

f (x)

= lim

+ o x

’®£¤

¡x3 + o¡(x3)¢

x!0 g (x)

x!0

sin ³

´ + ln (1 ¡ x) ¡ x2

•à¨¬¥à 3.2. • ©â¨

lim

1¡x

x!0

. ‚ ¯à¥¤áâ ¢«¥-¨¨ tg x ¨ sh x ¢á¥				ç«¥-ë ¯¥à¢®£® ¨
âà¥âì¥£® ¯®àï¤ª	¯®«®¦¨â¥«ì-ë,		¢ ¯à¥¤áâ ¢«¥-¨¨ arctg x
ç«¥- âà¥âì¥£® ¯®àï¤ª		\| ®âà¨æ â¥«¥-. •®íâ®¬ã ¢ §- ¬¥- â¥«¥
ç«¥- âà¥âì¥£® ¯®àï¤ª		®â«¨ç¥- ®â 0. •à¥¤áâ ¢¨¬ ä®à¬ã«®©
Œ ª«®à¥- §- ¬¥-	x3		o¡x ¢:	t3
	â¥«ì ¤à®¡¨ ¤®		3

’ ª ª ª sh x = x + 3! + o¡x3¢; tg t = t + 3 + o¡t3¢; t ! 0; â®

tg (sh x) = µx +

¶ +

o(x))3

¡ 3

3! + o x3

(x +

+ o x3

= x + 3! + o¡x3¢ + 3 + o¡x3¢ = x + 2 + o¡x3¢

¡ 3

¡x3¢, â®

5x3

’ ª ª ª arctg x = x

+ o x3

g (x) = x +

+ o x3

¡ µx ¡

+ o x3

’ ª ª ª - ©¤¥-

£« ¢- ï ç áâì ¯à¥¤áâ ¢«¥-¨ï, â® â®ç-®áâì

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o¡x2

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o x3

. ‡- ¬¥- â¥«ì ¤à®¡¨

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¤®

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x= x ¡1 + x + x2 + o¡x2¢¢ = x + x2 + x3 + o¡x3¢:

1 ¡ x

’ª ª ª sin t = t ¡ t3!3 + o¡t3¢; t ! 0, â®

sin

x¶ = x + x2 + x3 + o x3 ¡

(x +3!

+ o x3

¢¢

o(x))3

= x + x2 + x3 + o x3

3!¡

= x + x2 +

+ o x3

+ o x

ln (1 ¡ x) = ¡x ¡ 2 ¡ 3 + o¡x3¢:

f (x) = µx + x2 +

+ o x3

3¢

+ o x3

+ µ¡x ¡ 2

¡ ¢3

lim

f (x)

= lim

+ o x

= 3:/

¢)

x!0 g (x)

x!0 x63 + o¡(x3

•à¨¬¥à 3.3. • ©â¨	lim tg ³xe¡x		´	¡ ln( x		)	:
			2		ch2 x
	x!0
	x!0	arctg (x cos) ¡ tg x
. •à¥¤áâ ¢«¥-¨ï tg x	¨ arctg x		®â«¨ç îâáï				§- ª®¬

ªã¡¨ç¥áª®£® ç«¥- , ¯®íâ®¬ã ¯®¯à®¡ã¥¬ ¯à¥¤áâ ¢¨âì ä®à¬ã«®©

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¯à¥¤áâ ¢«ï¥¬ ¤® x2

Œ ª«®à¥- §- ¬¥- â¥«ì ¤à®¡¨ ¤® o x3

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cos x ã¬-®¦ ¥âáï -

cos x

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¢:

= x ¡

x cos x = x µ1 ¡ 2

+ o x

2 + o x

tg x = x +

+ o¡x3¢;

arctg t = t ¡

+ o¡t3¢; t ! 0:

’®£¤ arctg (x cos x) =

+ o x3 =

= µx ¡ 2

+ o x3

¶ ¡

¡ ¢

(x + o(x))3

¡ ¢

x3 + o x3

3 ¡ ¢

= x ¡

+ o x3

= x ¡

+ o x3

g (x) = x¡

6 +o x3 ¡µx + 3

+ o x3

¶ = ¡

+o x3

5x3

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ç¨á«¨â¥«ì

¤à®¡¨ ¤®

o x3

. •ªá¯®-¥-âã

¯à¥¤áâ ¢«ï¥¬

¤®

o x2

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x. ’ ª ª ª

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= 1+t+o(t), â®£¤ , ¯®¤áâ ¢«ïï ¡x2 ¢¬¥áâ®

t, ¯®«ãç ¥¬: xe¡x

= x ¡31 ¡ x2 + o¡x2

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’ ª ª ª tg t = t +

+ o t3

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0; â®

!(x + o(x))3

tg xe

= x

x3 + o x3

+ o x3

¡x3 + o

¡x3

¢¢

2x3

= x ¡ x3 + o x3

¢ + o x3

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+ o x3

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¬®¦-® ¯à¥®¡à §®¢

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ä®à¬ã«¥ ¯®-¨¦¥-¨ï áâ¥¯¥-¨, -® â ª

ª ª ®- ï¢«ï¥âáï

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¶ =

ch2 x

+ o x4

= 2 0

+ o x4

+ o x2

+ o x4

1 =

¡ ³

2¡

¢´

¢C

= 2 µ

+ o x4

¶ = x2 ¡

+ o x4

f (x) = x¡

+o¡x3

¢¡

µx2

+o¡x4¢¶=¡

+o¡x3¢:

lim

f (x)

= lim

+ o x3

7x3

+ o¡(x3¢)

x!0 g (x)

x!0

lim

(ln (e (1 + 2x)))1=4 + p

¡ 2 cos x

1 ¡ x

p5x

exp ³p1¡4x ´ ¡ (x + 1) ch

.…á«¨ âàã¤-®

¯à¥¤¯®«®¦¨âì

-¥®¡å®¤¨¬ãî

â®ç-®áâì

¯à¥¤áâ ¢«¥-¨ï, â® - å®¤¨¬ ¯¥à¢ë¥ âà¨ §- ç¨¬ëå (®â«¨ç-ëå

®â -ã«ï) ç«¥- . ‡ ¯¨á¨ ¢¥¤¥¬ â ª, çâ®¡ë ¯à¨ -¥®¡å®¤¨¬®áâ¨

«¥£ª® ¡ë«® ¤®¯¨á âì ¤®¯®«-¨â¥«ì-ë¥ ç«¥-ë ¤«ï ¢ë¤¥«¥-¨ï

£« ¢-®© ç áâ¨.

§- ¬¥- â¥«ì ¤à®¡¨ ¤®

o x3 .

„«ï

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¤® o x2

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3t2

’ ª ª ª,

= 1 +

+ o¡t2¢; t ! 0; â®

1 ¡ t

= x Ã1 +

3 (4x)2

+ o¡x2¢!= x+2x2 +6x3 +o¡x3¢:

1 ¡ 4x

exp µ

= exp x + 2x2

+ 6x3 + o x3

1 4x

2¢¢

+ o x

= 1 + x + 2x2 + 6x3 + o x3

¡x + 2x

¡ ¢¢

¢¢

(x + o(x))3

+ o¡x3¢ =

o x3

= 1+ x + 2x2 + 6x3 +

x + 4x 2+ o¡x

+ o x3

5x2

49x3

= 1 + x +

+ o¡x3¢:

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