Пособие по формулам Тейлора
.pdf. f (x) = sh2 x ¢ ch x = |
1 |
(ch 2x ¡ 1) ch x = |
1 |
(ch 3x ¡ ch x) = |
2 |
4 |
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à |
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! |
=1 Xn (3x)2k ¡ Xn x2k + o¡x2n+1¢ = 4 k=0 (2k)! k=0 (2k)!
=Xn 32k ¡ 1 x2k + o¡x2n+1¢; x ! 0:/ k=0 4 ¢ (2k)!
‡¬¥ç -¨¥ 11. „«ï ¯à¥®¡à §®¢ -¨ï ¢ëà ¦¥-¨© 㤮¡-® ¨á¯®«ì§®¢ âì ä®à¬ã«ë:
1 |
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1 |
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ch2 x¡sh2 x = 1; ch2 x = |
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(ch 2x + 1) ; sh2 x = |
|
|
(ch 2x ¡ 1) ; |
2 |
2 |
||||
ch 2x = ch2 x + sh2 x; sh 2x = 2 sh x ch x; |
|||||
sh (x § y) = sh x ch y § ch x sh x; |
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||
ch (x § y) = ch x ch y § sh x sh x; |
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||
2 ch x ch y = ch (x + y) + ch (x ¡ y) ; |
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||
2 sh x sh y = ch (x + y) ¡ ch (x ¡ y) ; |
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||
2 sh x ch y = sh (x + y) + sh (x ¡ y) : |
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2.2.4. |
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2.17. •à¥¤áâ ¢¨âì ä®à¬ã«®© Œ ª«®à¥- |
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f (x) = sin2 x ¢ cos x ¤® o¡x2n+1¢. |
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. f (x) = sin2 x |
¢ |
cos x = |
(1 ¡ cos 2x) |
cos x = |
cos x ¡ cos 3x |
= |
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= 4 |
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! = |
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Ãk=0 (¡1)k |
(2k)! ¡ k=0 (¡1)k |
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(2k)! + o x2n+1 |
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X |
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(3x)2k |
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x2k |
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1 ¡ 32k |
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¢ |
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( 1)k |
x2k + o x2n+1 |
; x |
0:/ |
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X |
4 |
¢ |
(2k)! |
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! |
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¡ |
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23
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¡ |
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f (x) = sin (ch x) ¤® o x3 |
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µ |
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¡ |
¢¶ |
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. f (x) = sin (ch x) = sin |
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1 + |
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+ o x3 |
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x2 |
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¡ |
¢ |
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x2 |
x2 |
¡ |
¢ |
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f (x) = sin µ1 + |
2 |
+ o x3 |
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= sin 1 ¢ cos µ |
2 |
+ o x3 |
|
¶+ |
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+ cos 1 ¢ sin µ |
|
+ o¡x3¢¶ = sin 1 + cos 1 ¢ |
|
+ o¡x3¢; x ! 0:/ |
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2.2.5.‘⥯¥-- ï äã-ªæ¨ï
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. ) ˆá¯®«ì§ãï â ¡«¨ç¡-®¥¢ |
¯à¥¤áâ ¢«¥-¨¥ (20) á⥯¥--®© |
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äã-ªæ¨¨ |
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1 + x; |
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1+x |
; 1 + x |
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o x |
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äã-ªæ¨¨ ¯à¨ ® = |
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2 , ¯®«ãç ¥¬ |
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¢¡ x3 ¢ |
¡ |
¢ |
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¢ |
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x |
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= 1 + |
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1 |
x + |
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¡ |
21 |
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x2 |
+ |
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21 |
¡21 |
¡23 |
x3 + o |
x3 |
= |
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1 + x |
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¡ |
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+ |
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+ o¡x3¢; x ! 0: |
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8 |
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(20) |
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äã-ªæ¨¨ ¯à¨ ® = ¡21 , ¯®«ãç ¥¬ |
+ |
¡¡2 |
¢¡¡62 ¢¡¡2 ¢x3+o x3 = |
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p11+ x = 1¡2x+ ¡¡2 |
¢2¡¡2 ¢x2 |
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1 |
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1 |
3 |
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+ |
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¡ |
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+ o¡x3¢; x ! 0: |
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2 |
8 |
16 |
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¢) ˆá¯®«ì§ãï â ¡«¨ç-®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥-¨¥ |
(20) |
á⥯¥--®© |
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äã-ªæ¨¨ ¯à¨ ® = |
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3 , ¯®«ãç ¥¬ |
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24
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3 |
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¡ |
2 |
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¢ |
¡ |
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¢¡ |
|
¢ |
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p3 |
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= 1 + |
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x + |
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¡ |
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x2 + |
31 ¡32 |
¡35 |
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x3 + o x3 |
= |
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1 + x |
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x x2 |
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¢ |
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= 1 + |
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¡ |
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+ |
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+ o¡x3¢; x ! 0:/ |
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9 |
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¨á¯®«ì§®¢ âì ४ãàà¥-â-®¥ á®®â-®è¥-¨¥ |
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® ¡ k |
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® |
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® ¢ |
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2 |
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¢«¥-¨© ç¥â-ëå äã-ªæ¨© ¨ ¯à¥¤áâ ¢«¥-¨ï äã-ªæ¨© |
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p¯à¥¤áâ ¨ |
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x2k +o x2n+1 ; x |
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= 1 + |
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¡ |
x2 |
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X |
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äã-ªæ¨î |
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¡ |
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¡ |
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x |
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+o(x ) ; x ! 0; |
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2k k! |
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k=2 |
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¢ |
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|
x |
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4 |
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3)!! |
x |
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2 |
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+ o(xn)! = |
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= 2 + |
x |
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+ |
n |
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(¡1)k¡1 (2k ¡ 3)!! |
xk + o(xn) ; x |
! |
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23k¡1 k! |
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X |
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25
2.2.6. „஡-®-à 樮- «ì- ï äã-ªæ¨ï
1. „à®¡ì ¯à¥¤áâ ¢«ï¥¬ ¢ ¢¨¤¥ áã¬¬ë ¬-®£®ç«¥- (¢®§¬®¦-® -ã«¥¢®£®) ¨ ¯à ¢¨«ì-®© ¤à®¡¨.
2. •à¨ -¥®¡å®¤¨¬®á⨠¯à ¢¨«ì-ãî ¤à®¡ì à ᪫ ¤ë¢ ¥¬ - á㬬㠤஡¥© á® §- ¬¥- ⥫¥¬ ¢¨¤ 1 + ®tm, ®â¢¥ç îé¨å ¨«¨
᢮¤ïé¨åáï ª â ¡«¨ç-ë¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥-¨ï¬.
3. •®«ãç ¥¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥-¨ï ¯® ä®à¬ã«¥ Œ ª«®à¥- ¤«ï ¢á¥å ¢å®¤ïé¨å ¢ ¯à¥¤áâ ¢«¥-¨ï ¤à®¡¥©. •à¨¢®¤¨¬ ¯®¤®¡-ë¥ á« £ ¥¬ë¥.
„«ï ¯®«ãç¥-¨ï ¯à¥¤áâ ¢«¥-¨ï ¤à®¡¨ ¢¨¤ Pk(t)
1+®tm ä®à¬ã«®© Œ ª«®à¥- , £¤¥ Pk (t) | ¬-®£®ç«¥-, ¨¬¥î騩 -¥áª®«ìª®
®â«¨ç-ëå ®â -ã«ï á« £ ¥¬ëå, ¬®¦-® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ä®à¬ã«®© |
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Œ ª«®à¥- |
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•à¨¬¥à 2.22. |
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1+®tm |
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•à¥¤áâ ¢¨âì ä®à¬ã«®© Œ ª«®à¥- äã-ªæ¨î |
||||||||||||||
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; x 0: “¬-®¦¨¬ ¯®«ãç¥--®¥ |
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+ o x4n+3 |
! = |
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f (x) = x2 |
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¡ |
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¢ |
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¡ |
¢ |
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X |
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X |
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= x4k+2 |
+o x4n+5 |
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+o x4n+4 |
|
+ 7¢x4k+o x4n+3 |
= |
|||
k=0 |
X |
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k=0 |
¢ |
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+ x4k+2´ |
|
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¡ |
|
|||
= k=0 ³7 ¢ x4k + 2 ¢ x4k+1 |
+ o x4n+3 |
; x ! 0:/ |
|
•à¨¬¥2à 2.23. |
•à¥¤áâ |
¢¨âì ä®à¬ã«®© Œ ª«®à¥- |
äã-ªæ¨î |
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f (x) = |
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á㬬ã |
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|
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= 2 + |
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¡ |
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x + 2 |
x ¡ 1 |
|
26
’®£¤ f (x) = 2 + |
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1 |
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1 |
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1 + x2 |
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1 ¡ x |
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1 |
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n |
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= 2 + |
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|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2 |
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2 ´ |
|
|
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+ o(xn)! + k=0 xk + o(xn) ; x ! 0: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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X |
|
|
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X |
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|
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|
|
|
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|
|
|
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+ 1 xk + o(xn) ; x |
! |
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|
|
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|
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|
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|
|
|
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|
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|
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|
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|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
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2 |
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®áâ â®ç-ë© ç«¥- ¢ |
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® |
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¯à¥¤áâ ¢«¥-¨¨ ä®à¬ã«®© Œ ª«®à¥- |
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|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
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|
|
|
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|
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6= 0 á¬. ¯à¨¬¥à 2.27. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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2.2.7. |
|
‹®£ à¨ä¬¨ç¥áª ï äã-ªæ¨ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
’ ª |
ª ª |
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(ln (1 + x))0 |
= |
|
|
1 |
|
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ln 1 |
|
= 0, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
1+x |
|
|
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â® ä®à¬ã« |
(23) |
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¬®¦¥â |
¡ëâì |
¯®«ãç¥- |
¨-⥣à¨à®¢ -¨¥¬ |
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ä®à¬ã«ë (21). ”®à¬ã« |
|
(24) ¬®¦¥â ¡ëâì ¯®«ãç¥- |
|
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¨§ ä®à¬ã«ë |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(23) ¯® ¯à ¢¨«ã á«®¦-®© äã-ªæ¨¨. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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«®£ à¨ä¬¨ç¥áª®© |
äã-ªæ¨¨ |
|
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¢ë¯®«-ïîâ, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
§ ¯¨á ¢ äã-ªæ¨î ¢ ¢¨¤¥ «¨-¥©-®© ª®¬¡¨- 樨 äã-ªæ¨© ¢¨¤ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ln (1 + ®xm) ¨, ¢®§¬®¦-®, ª®-áâ -âë. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
•à¨¬¥à 2.24. •à¥¤áâ ¢¨âì ä®à¬ã«®© Œ ª«®à¥- äã-ªæ¨î |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f (x) = ln |
4¡x |
|
|
|
|
|
|
|
|
o(xn). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
(3¡2x)(5¡x) ¤® |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
||||
. f (x) = ln |
|
|
|
+ ln 1 ¡ |
|
|
´ |
¡ ln µ1 ¡ |
|
|
|
|
¶ ¡ ln 1 ¡ |
|
´ |
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
15 |
4 |
3 |
|
5 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
³ n |
|
|
|
|
|
|
|
n |
2kxk |
|
|
n |
|
|
|
³ |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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xk |
|
|
|
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|
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|
|
|
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|
|
+ |
|
|
|
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+ o(xn) = |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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X |
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27
= ln 15 |
+ k=1 |
k |
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¶ |
k |
+ 5k |
¡ 4k ! |
+ o(xn) ; x ! 0:/ |
||||||
4 |
|
n |
xk |
2 |
|
1 |
1 |
|
|
|||||
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•à¨¬¥à 2.25. •à¥¤áâ ¢¨âì ä®à¬ã«®© Œ ª«®à¥- |
äã-ªæ¨î |
|||||||||||||||||||||||
f (x) = ln 3¡x3 ¤® o¡x3n+2 |
¢.3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||||||||
4+x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||||||
. f (x) = ln |
|
+ ln µ1 + |
|
|
¶ ¡ ln |
µ1 ¡ |
|
|
¶ = |
|
|
|||||||||||||
3 |
4 |
3 |
|
= |
||||||||||||||||||||
= ln 4 + n (¡1)k¡1 x3k + |
n |
x3k + o x3n+2 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
¡ |
|
¢ |
|||
|
|
3 |
|
|
k=1 |
4kk |
|
|
k=1 |
3kk |
|
|
|
|
||||||||||
4 |
|
|
|
n x3k |
à |
( 1)k¡1 |
1 |
! |
|
|
¡ |
¢ |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
X |
¡ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= ln |
3 |
+ k=1 |
k |
4k |
+ |
3k |
+ o x3n+2 |
; x ! 0:/ |
2.3.•à¥¤áâ ¢«¥-¨¥ ä®à¬ã«®© ’¥©«®à .
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) § ¬¥-®© ¯¥à¥¬¥--®© |
t = |
x ¡ x0 ¨á室- ï § ¤ ç |
᢮¤¨âáï ª ¯à¥¤áâ ¢«¥-¨î |
ä®à¬ã«®© Œ ª«®à¥- äã-ªæ¨¨ |
|
g (t) = f (x0 + t) ¤® ⮣® ¦¥ ¯®à浪 |
®-¬ «®£®, çâ® ¨ ¨á室- ï |
§ ¤ ç ; |
|
|
|
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x0 äã-ªæ¨¨ f (x) ¤®«¦-® ¯à¥¤áâ ¢«ïâì ᮡ®© á㬬ã á« £ ¥¬ëå |
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¢á¥ ¯®¤®¡-ë¥ |
á« £ ¥¬ë¥. k 2. •¥¤®¯ãá⨬® à áªàë⨥ ᪮¡®ª ¢ ¢ëà ¦¥-¨¨ (x ¡ x0)
¯à¨ «î¡®¬ k.
3. •à¥¤áâ ¢«¥-¨¥ äã-ªæ¨¨ á㬬®© ¯® á⥯¥-ï¬ (x ¡ x0)k ¯à¨ x 6!x0 ¯® ®¯à¥¤¥«¥-¨î -¥ ï¥âáï ¯à¥¤áâ ¢«¥-¨¥¬ ä®à¬ã«®© ’¥©«®à ¢ ®ªà¥áâ-®á⨠â®çª¨ x0.
2.4. •à¥¤áâ ¢«¥-¨¥ ä®à¬ã«®© ’¥©«®à ¯à¨ x ! 1
„«ï ¯®«ãç¥-¨ï ¯à¥¤¡áâ ¢¢«¥-¨ï ä®à¬ã«®© ’¥©«®à äã-ªæ¨¨ f (x) ¯à¨ x ! 1 ¤® o x1n ¢ë¯®«-塞 § ¬¥-ã ¯¥à¥¬¥--®© t = x1 ,
29
¯à¥¤áâ ¢«ï¥¬ ä®à¬ã«®© Œ ª«®à¥- |
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f (x) = px2 ¡ x ¡ 1 ¡ x = ¡2 |
¡ 8x ¡ 16x2 |
+ oµx2 ¶ |
; x ! 1:/ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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5 |
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‡ ¤ ç |
¯à¥¤áâ ¢«¥-¨ï ä®à¬ã«®© |
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¯à®¨§¢¥¤¥-¨ï |
¬-®£®ç«¥- - âà -áæ¥-¤¥-â-ãî |
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¨àà 樮- «ì-ãî |
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äã-ªæ¨î à¥è ¥âáï ¢ -¥áª®«ìª® íâ ¯®¢: |
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ä®à¬ã«®© Œ ª«®à¥- . |
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¯à¥¤áâ ¢«ï¥¬ ä®à¬ã«®© Œ ª«®à¥- . |
|
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3. |
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||
(ª ª ¯à ¢¨«®, ¤¢ãç«¥-). |
|
|
|
|
30 |
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4. •à¨¢®¤¨¬ ¯®¤®¡-ë¥ ç«¥-ë, ¯à¨ -¥®¡å®¤¨¬®á⨠|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
¨á¯®«ì§ãï § ¬¥-ã ¨-¤¥ªá |
á㬬¨à®¢ -¨ï. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
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¢ |
¡ ln µ1 ¡ |
t |
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2 |
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|
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|
|
|
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|
|
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|
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|
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|
|
|
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|
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1 |
|
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|
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|
|
|
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|
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|
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k |
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k |
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|
|
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|
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|
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; t ! 0: |
|||||||||||||||
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k |
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|
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|
|
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|
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|
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|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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+ |
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f (x) = ¡ (x + 1) ln 2 + k=1 µ(¡1)k¡1 + |
|
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|
|
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|
|
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|
|
|
|
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|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
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31
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|
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¯à¨ ã¬-®¦¥-¨¨ - |
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¬-®£®ç«¥- |
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||||||||||||||||||
¯à¥¤áâ ¢«¥-¨ï -¥ ¯®¢ëá¨âáï. |
|
|
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äã-ªæ¨î y (t) = cos 2t |
|||||||||||||||||||
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•à¥¤áâ ¢¨¬ ä®à¬ã«®© Œ ª«®à¥- |
||||||||||||||||||||||
¤® o t2n+1 : |
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¢ |
+ o t |
2n+1 |
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¢ ®¡¥¨å á㬬 å á⥯¥-¨ ¯¥à¥¬¥--®© |
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2k + 2 ¨ 2k. ‡- ç¨â, § ¬¥-¨¢ ¢ ¯¥à¢®© á㬬¥ k + 1 - |
-®¢ë© |
¨-¤¥ªá á㬬¨à®¢ -¨ï, ¬ë ¯®«ã稬 ¢ ®¡¥¨å á㬬 å ®¤¨- ª®¢ë¥ á⥯¥-¨ ¯¥à¥¬¥--®© ¯à¨ ®¤¨- ª®¢ëå ¨-¤¥ªá å á㬬¨à®¢ -¨ï. ‚뤥«ï¥¬ ¢ ï¢-®¬ ¢¨¤¥ k+1 ¢® ¢á¥å ¬¥áâ å ¢å®¦¤¥-¨ï ¨-¤¥ªá
á㬬¨à®¢ n-¨ï ¢ ¯¥à¢®© á㬬¥:
g (t) = X(¡1)k+1¡1 t2(k+1) ¢ 22(k+1)¡3
k=0
(2 (k + 1) ¡ 2)!
¡ Xn (¡1)k t2k ¢ 22k+1 + o¡t2n+1¢:
k=0
(2k)!
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