Пособие по формулам Тейлора

n

f0 (x) =

X

akxk + o(xn) ; ⮣¤

k=0

n

¡

¢

X

ak

f (x) = f (0) +

k + 1

xk+1 + o xn+1 ;

(27)

k=0

â® ¥áâì

á« £ ¥¬ë¥

¬-®£®ç«¥-

’¥©«®à äã-ªæ¨¨

f (x)

¯®«ãç îâáï ¯®ç«¥--ë¬ ¨-⥣à¨à®¢ -¨¥¬ ¬-®£®ç«¥-

’¥©«®à

¯à®¨§¢®¤-®© f0 (x). ‚ ¦-® ¯à¨ ¨-⥣à¨à®¢ -¨¨ -¥ ¯®â¥àïâì

ç«¥- -ã«¥¢®£® ¯®à浪

f (0).

’®£¤ lim

f (x)

= lim

axn + o(xn)

=

a

:

b

x!0 g (x)

x!0 bxn + o(xn)

1

•à¥¤¥« äã-ªæ¨¨ ¢¨¤ (f (x))

g(x)

.

•à¨¬¥à 2.1.

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¢¢

¡

¡

¢¢

¡¡

¡

¯à¨ x ! 0.

2x + 3x2 + o x3

¡ x + 3x2 + o x3

¢

¡‡ ¬¥ç -¨¥

¡6.

¢¢‚§

¡¨¬-®¥ ã- ¡

¢¢

¡

. 2x + 3x2

+ o x3

x + 3x2 + o x3

= x + o x3

: /

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¡

¢

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o x3

¡ o x3

= o x3

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äã-ªæ¨© ®¤-®£® ª« áá .

¡

•à¨¬¥à 2.2. “¯à®áâ¨âì ¢ëà ¦¥-¨¥

¢¢

. •®ç«¥--® 㬡-

¢¢¡

¡

3x + 5x2 + x4

¡ o x4

1 + 5x ¡ x3

+ o x3

¯à¨ x ! 0.

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5, á. 11). ˆá¯®«ì§ã¥¬ â ¡«¨ç-ãî § ¯¨áì ¤«ï ¯à¨¢¥¤¥-¨ï

¯®¤®¡-ëå á« £ ¥¬ëå:

+

x4

+ o x4

+

3x + 5x2

¢

¡ 3x4

+ o¡x4

=

+ 15x2

+ 25x3

+

o¡x4

¢

¡

= 3x + 20x2

+ 25x3

¡ 2x4

+ o

¡x4

¢:

x ! 0 /

—«¥-л ¢ли¥ з¥в¢¥ав®© бв¥¯¥-¨ п¢«повбп o x

¡

¢

‡ ¬¥ç -¨¥ 7. ’ ¡«¨ç- ï ä®à¬ § ¯¨á¨¡¯à¥¢¤¯®« £ ¥â, çâ®

4

¯à¨

.

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äã-ªæ¨¨ g (x) ¤® o(xn) ¨¬¥îâ ¢¨¤: g (x) = o(x) ¯à¨ n = 1;

áãé¥

¡

¢

n = 2; ¯à¨ n ¸ 3 ¯à¥¤áâ ¢«¥-¨ï -¥

g (x) = o x2

¯à¨

áâ¢ãîâ.

ˆá¯®«ì§ãï

â ¡«¨ç-®¥

¯à¥¤áâ ¢«¥-¨¥

¯®ª § ⥫ì-®©

äã-ªæ¨¨ (15) ¨ ¯à ¢¨«® á«®¦¥-¨ï ¯à¥¤áâ ¢«¥-¨©, ¨¬¥¥¬

n = 2; ¯à¨ n ¸ 3 ¯à¥¤áâ ¢«¥-¨¥ -¥ áãé¥áâ¢ã¥â. /2

¡

¢ ¯à¨

f (x) = 1 + x + o(x) ¯à¨ n = 1 ; f (x) = 1 + x +

x2

+ o x2

•à¨ ¢®§¢¥¤¥-¨¨ ¢ á⥯¥-ì ¨ ¯¥à¥¬-®¦¥-¨¨ ¯à¥¤áâ ¢«¥-¨©

ä®à¬ã«®©

’¥©«®à

â®ç-®áâì ¯à¥¤áâ ¢«¥-¨ï ®¯à¥¤¥«ï¥âáï

- ¨¬¥-ì訬

¯®à浪®¬

®-¬ «®£®

¢

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¯®à浪

¬®¦-® -¥

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п¢«повбп

®-¬ «ë¬.

•à¨¬¥à 2.4.

•à¥¤áâ ¢¨âì ä®à¬ã«®© Œ ª«®à¥-

äã-ªæ¨î

f (x. ”ã-ªæ¨ï¢

ï¥âáந§¢¥¤¥-¨¥¬ ¤¢ãå äã-ªæ¨©. ’ ª ª ª

) = ex

p1 + x ¤® o x2 .

®¡¥¨å äã-ªæ¨© ¤® ¨áª®¬®£® ¯®à浪 :

2 ¡

8 + o¡x2¢¶

f (x) =

µ1 + x + 2 + o¡x2¢¶µ1 +

x2

x

x2

f (x) = µ1 +

x

x2

¡

¢

¶

³

x

´

x2

3x

7x2

2

¡

8

+ o x2

+ x 1 +

2

+ o(x) +

+

(1 + o(1)) = 1 +

+

+ o¡x2¢; x ! 0:/

2

2

8

•à¨¬¥à 2.5.

•à¥¤áâ ¢¨âì ä®à¬ã«®© Œ ª«®à¥-

äã-ªæ¨î

f (x) = sin x ¢ ln (1 + x) ¤® o x5 .

x ¯à¨ x

0, â® sin x ¨

’ ª ª ª

,

+ x)

»

!

.

sin x » x

ln¡(1 ¢

x3

x4

o¡x

¢:

ln (1 + x) ¯à¥

x3

x2

4

¤áâ ¢«ï¥¬ ä®à¬ã«®© Œ ª«®à¥-

¤®

f (x) = µx ¡

+ o x4

¶µx ¡

+

¡

+ o x4

¢

¶

=

3!

2

3

4

= x µx ¡

x2

x3 ¡ x4¢

¢3

¶ ¡

x3

µx ¡

x2

¡

¢

¶ =

+

¡

+ o x4

+ o x2

2

3

4

3!

2

¡

x

4

5

¡

x

x

= x2 ¡

+

¡

+ o¡x5¢; x ! 0:

2

6

6

Žáâ «ì-ë¥ ç«¥-ë ®¯ãé¥-ë ¯®

¯à ¢¨« ¬

¯à¥®¡à §®¢ -¨ï

¢ëà ¦¥-¨©, ᮤ¥à¦ é¨å ®-¬ «®¥./

•à¨ ¢®§¢¥¤¥-¨¨

¢ á⥯¥-ì

¯à¥¤áâ ¢«¥-¨ï ä®à¬ã«®©

’¥©«®à

¢ ¦-®

-¥ ¯®â¥àïâì ç«¥-ë, ïî騥áï ¯®¯ à-묨

¯à®¨§¢¥¤¥-¨ï¬¨ á« £ ¥¬ëå, - ¯à¨¬¥à:

¡

¢

+ ¡

2

3

¡

3

¢¢

2

2

¡

2

¢

2

3

2

+

x + 2x + 3x + o x

¢

= x + 2x

+ 3x

¡

¢¢

¡

¢

2x2 + x

¢

3x3 + 2x2

3x3

¢

¡

¢¡

2 x

+o x3

x + 2x2 + 3x3

+ o x3

:

•à¨¬¥à 2.6. •à¥¤áâ ¢¨âì ä®à¬ã«®© Œ ª«®à¥-

äã-ªæ¨î

. f (x) 率âáï¢.

á«®¦-®©

äã-ªæ¨¥© (á¬.

á.

11|12).

f (x) = ex¡x2 ¤® o x3

•à¨¬¥à 2.7.

•à¥¤áâ ¢¨âì ä®à¬ã«®© Œ ª«®à¥- äã-ªæ¨î

f (x.

”ã-ªæ¨ï

f (x¡)

ï¥âáï

á«®¦-®©

äã-ªæ¨¥©

á

) = esin ln(1+2x)

¤® o x3 .

-¥áª®«ìª¨¬¨

¢«®¦¥---묨

äã-ªæ¨ï¬¨.

•à¥¤áâ ¢«¥-¨¥

- ç¨- ¥¬

á

¢-ãâà¥--¥©

äã-ªæ¨¨.

’ ª ª ª

ln (1 + t)

=

t2

t3

+ o¡t

3

¢

, £¤¥

2x

0 ¯à¨ x

0, â®

t ¡

2

+ 3

(2x)2t =(2x)3!

!

8x3

ln (1 + 2x) = 2x¡

+

+o¡x3¢ = 2x¡2x2

+

+o¡x3

¢:

2

3

3

x

0

,

sin u = u

u³3

¡

3

;

⮣¤

¡

¢

´

!

+ o u

8x3

Ž¡®§- ç ï u =

2x 2x2

+

+ o x3

, ¨¬¥¥¬ u

0 ¯à¨

¡

¢

3

!

¡

6

8x3

1

sin ln (1 + 2x) = µ2x ¡ 2x2

+

+ o x3

¢

¶¡

(2x + o(x))3 =

3

6

¡

x3

= 2x ¡ 2x2 +

4

+ o¡x3¢:

3

„«ï y = ³y22x ¡y32x2 +

4

+ o x3

¢

´

¨¬¥¥¬ y ! 0 ¯à¨ x ! 0,

y

33

e = 1 + y + + + o y

x3

¡

¡

¢,3

⮣¤

2

6

f (x) = 1+µ2x ¡ 2x2 +

+ o x3

¢

¶+

2x ¡ 2x2 + o x2

¢¢

2 +

3

2

1

4x

¡

1

¡

x3

¡

•à¨¬¥à 2.8.

•à¥¤áâ ¢¨âì ä®à¬ã«®© Œ ª«®à¥- äã-ªæ¨î

.

arcsin x3

¡

5

¢

» x ln 1 + x » x

x ! 0

f (x) = ln(1+x2) ¤® o x

.

¢

¡

¢

ln

1 + x2

| ¤® o x6

¨ ᮪à é ¥¡¬

’ ª ª ª arcsin x3

3,

2

2

¯à¨

,

,

â®

arcsin x3

¯à¥¤áâ ¢«ï¥¬ ä®à¬ã«®© Œ ª«®à¥-

¤® o x7

¡

¢

3

¡

7

¤à®¡ì:

5

x

+ o x

x + o x

f (x) =

x2 ¡

x4

+

x¡6

+¢o(x6)

=

1 ¡

x2

+

x¡4

+¢o(x4)

=

2

3

2

3

¶

!

=

= x + o x5

Ã1 ¡ µ¡ 2 + 3 + o x4

¶ +

µ¡ 2 + o x2

¡

¡

¢¢

x2

x4

¡

¢

x2

¡ ¢

2

= x + o x5

µ1 +

2

¡ 12 + o x4

¶

= x+

2 ¡

12 +o x5

:/

¡

¡

¢¢

x2

x4

¡

¢

x3

x5

¡

¢

¤à㣨å á«ãç ïå 楫¥á®®¡à §-® ¯à¥®¡à §®¢ âì äã-ªæ¨î â ª¨¬

®¡à §®¬, çâ®¡ë ¨§¡¥¦ âì ¯à¥¤áâ ¢«¥-¨ï á«®¦-®© äã-ªæ¨¨

ä®à¬ã«®© ’¥©«®à .

•à¨¬¥à 2.9.

•à¥¤áâ ¢¨âì ä®à¬ã«®© Œ ª«®à¥-

äã-ªæ¨î

f (x. ‚®á¯®«ì§ã¥¡¬áï¢.¬¥â®¤®¬ -¥®¯à¥¤¥«¥--ëå ª®íää¨æ¨¥-⮢.

) = tg x ¤® o x6

tg x =

sin x

cos x ¢ tg x

= sin x. ’ ª ª ª

äã-ªæ¨ï

cos x ,

⮣¤

y

=

tg x

-¥ç¥â- ï,

â® ¥¥

¯à¥¤áâ ¢«¥-¨¥

ä®à¬ã«®©

Œ ª«®à¥-

á

-¥®¯à¥¤¥«¥--묨

ª®íää¨æ¨¥-â ¬¨

¡¥à¥¬ ⮫쪮

¯® -¥ç¥â-ë¬

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•à¨à ¢-¨¢ ¥¬

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¢«³¥-¨ï

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¡¬¨ ¢´Œ¡

ª«®à¥- á

â®ç¡-®áâì

¤®

x3 :

¡a2 + b = ¡61 ;

x5 :

a

¡ 2b + c =

1

:

24

120

•¥è ï á¨á⥬ã, ¯®«ãç ¥¬ a = 1; b = 1 ; c =

2

15 . ˆâ ª,

tg x = x + 3x3

+ 15x5

3

+ o¡x6¢; x ! 0:/

1

2

‡ ¬¥ç -¨¥ 9.

€- «®£¨ç-® ¯à¥¤ë¤ã饬㠯ਬ¥àã ¬®¦-®

¯®«ãç¨âì ¯à¥¤áâ ¢«¥-¨¥

ä®à¬ã«®© Œ ª«®à¥-

äã-ªæ¨¨

¡

¢. € ¨¬1

3

2

5

6

y = th x ¤® o x6

¥--®,

th x = x ¡

x +

x + o¡x ¢; x ! 0:

3

15

•à¨¬¥à 2.10.

•à¥¤áâ ¢¨âì ä®à¬ã«®© Œ ª«®à¥-

äã-ªæ¨î

. • ©¤¥¬

¡

¢

.

f (x) = arcsin x ¤® o x6

¯à¥¤áâ ¢«¥-¨¥

ä®à¬ã«®© Œ ª«®à¥-

¯à®¨§¢®¤-®© ¤® o¡x6¢:

1

x2

3x4

f0

(x) =

p

= 1 +

+

+ o¡x5

¢:

2

8

1 ¡ x2

ˆ-⥣à¨àãï ¯à¥¤áâ ¢«¥-¨¥ ¯à®¨§¢®¤-®© ¨ ãç¨âë¢ ï, çâ®

arcsin 0 = 0, ¨¬¥¥¬ (á¬. ä®à¬ã«ã (27), á. 13):

x3

3x5

arcsin x = x +

+

+ o¡x6¢:/

6

40

•à¨¬¥à 2.11. •à¥¤áâ ¢¨âì ä®à¬ã«®© Œ ª«®à¥- äã-ªæ¨î

f (x. €à£ã¬¥-¡â2

äã-¢ªæ¨¨ ¡-¥ áâ६¨âìáï ª -ã«î ¯à¨ x ! 0.

) = arccos 1

+ x ¤® o x2 .

’¥¬ -¥ ¬¥-¥¥ ¬®¦-® ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï á¢ï§ìî ¯à¥¤áâ ¢«¥-¨©

ä®à¬ã«®© Œ ª«®à¥-

äã-ªæ¨¨ ¨ ¥¥ ¯à®¨§¢®¤-®©:

1

0

1

2

µarccos µ

+ x¶¶

= ¡

= ¡

=

2

p

1

1

+ x 2

1

4(x+x2)

¡

3

2

q

¡

2

¢

¢ q ¡

3

2

2

2

x + x

4x

= ¡p

Ã1 +

¡

3

¢

+ o(x)! = ¡p

¡

3p

+ o(x) :

3

3

3

’®£¤ f (x) = arccos µ

1

+ x¶

=

¼

2

2x2

+o¡x2¢; x ! 0:/

¡p

x¡

3p

2

3

3

3

•à¨¬¥à 2.12. •à¥¤áâ ¢¨âì ä®à¬ã«®© Œ ª«®à¥-

äã-ªæ¨î

f (x) = x2 ln x + p1 + x2 ¤® o x2n .

ä®à¬ã«®©

Œ ª«®à¥-

.

• ©¤¥¬

¯à¥¤áâ ¢«¥-¨¥

¢

³

´

¡

¯à®¨§¢®¤-®© äã-ªæ¨¨ g (x) = ln

x + p

. •® ä®à¬ã«¥

1 + x2

1

(

3

1

1))´

1)k(2k

1

¡

2

³2 ):::(

2

¡

(k

¡

(

1)!!

(4.7.) ¯à¨ ® =

¡2 , £¤¥

Ck

1

=

¡

¡

= ¡

¡

¡

2

k!

2kk! ,

¨ ¯à ¢¨«ã

¯à¥¤áâ ¢«¥-¨ï

ä®à¬ã«®©

Œ ª«®à¥-

á«®¦-®©

äã-ªæ¨¨ ¨¬¥¥¬

g0 (x) =

1

= 1 + n¡1

(¡1)k (2k ¡ 1)!!

x2k + o x2n

; x

0:

p1 + x2

k=1

2kk!

¡

¢

!

X

³

´

k=1

2kk! (2k + 1)

; x

!

0:

ln x +

p

1 + x2 = x + n¡1

(2k ¡ 1)!! x2k+1 + o x2n

X

¡

¢

³

p

´

’®£¤

f (x) = x2 ln x + 1 + x2 =

!